Combinatorics and degenerations in algebraic geometry: Hurwitz numbers, Mustafin varieties and tropical geometry

Abstract

Degenerationstechniken sind mächtige Werkzeuge in der Untersuchung verschiedener Objekte der algebraischen Geometrie. Sie ermöglichen es geometrische Objekte mit Hilfe kombinatorischer Methoden zu untersuchen. Diesem großen Nutzen geht jedoch häufig die große Herausforderung voraus den Zusammenhang zur Kombinatorik zu konkretisieren. Das junge Gebiet der tropischen Geometrie bietet einen konzeptionellen Rahmen, um diesen Zusammenhang herzustellen. In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene Probleme der algebraischen Geometrie mit Hilfe degenerativer und kombinatorischer Methoden. Diese Probleme lassen sich wiederum in drei Themengebiete unterteilen: Enumeration von Überlagerungen (Hurwitz Zahlen), Degenerationen von projektiven Räumen (Mustafin varietäten), Modulräume tropischer Kurven und treue Tropikalisierungen.