Smooth Mori dream spaces of small Picard number

Abstract

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Geometrie von Mori dream spaces, die von Hu und Keel eingeführt wurden und eine kombinatorische Beschreibung durch ihre Cox-Ringe und polyedrische Kegel erlauben. Besonders gut zugänglich sind diese kombinatorischen Daten in kleiner Picardzahl. Dies nützen wir aus, um glatte Mori dream spaces zu klassifizieren, sowie um geometrische Fragen zu bearbeiten. Dabei bleiben wir nah an der torischen Geometrie und betrachten überwiegend Varietäten mit einer Torusoperation der Komplexität eins sowie intrinsische Quadriken. Im torischen Fall wurden bereits Klassifikationen der glatten Varietäten bis zu Picardzahl drei erreicht. Wir weiten diese Überlegungen in zwei Richtungen aus: In Kapitel zwei werden nicht-torische rationale Varietäten mit einer Torusoperation der Komplexität eins und in Kapitel drei intrinsische Quadriken kleiner Picardzahl untersucht. In beiden Fällen werden für glatte projektive Varietäten explizite Beschreibungen erzielt und darüber hinaus die Fanovarietäten in den jeweiligen Fällen herausgefiltert. Das letzte Kapitel, Kapitel vier, beschäftigt sich mit der Untersuchung von Fragen zur Basispunktfreiheit. Im ersten Abschnitt werden eingebettete Monoide, d.h. endlich erzeugte Monoide in endlich erzeugten abelschen Gruppen untersucht. In den darauffolgenden Abschnitten werden diese Erkenntnisse verwendet, um das Basispunktfreimonoid, d.h. das Monoid aller basispunktfreien Cartierdivisorenklassen, zu untersuchen. Als Anwendung der Klassifikationen aus den Kapiteln zwei und drei zeigen wir, dass das Basispunktfreimonoid der dort klassifizierten Varietäten saturiert ist. Des Weiteren untersuchen wir Fujitas Basispunktfrei-Vermutung für Beispielklassen und präsentieren einen Testalgorithmus der Vermutung für bestimmte Klassen von Mori dream spaces.