Das k-Box-Produkt

Abstract

Ziel dieser Doktorarbeit ist es, bekannte und oft verwendete Eigenschaften des Tychonow-Produkts in analoger Form für das k-Box-Produkt zu beweisen, was bisher noch nicht geschehen ist, und die Verbindung zwischen der Infinitären Kombinatorik und der Topologie zu vertiefen.

In der Infinitären Kombinatorik, ein Zweig der modernen Mengenlehre, bedient man sich gerne topologischer Begriffe, um einerseits Ergebnisse zu verdeutlichen und um andererseits den sehr abstrakten kombinatorischen Begriffen eine gewisse Anschaulichkeit zu geben. Das k-Box-Produkt ist dabei von besonderer Bedeutung, denn mit ihm können auch abstrakte Mengen, wie zum Beispiel Familien von k-großer Oszillation, illustriert werden.

Für eine unendliche Kardinalzahl k besteht die Basis des k-Box-Produkts aus den Produkten von offenen Mengen der Grundräume, bei denen sich alle bis auf weniger als k viele Faktoren nicht vom gesamten Grundraum unterscheiden. Sowohl das 1930 von A. Tychonow eingeführte und nach ihm benannte Tychonow-Produkt als auch das von H. Tietze 1923 definierte Box-Produkt sind dabei Spezialfälle des k-Box-Produkts.

Wir werde die Dichtigkeit auf dem k-Box-Produkts abschätzen indem wir den berühmten Satz von Hewitt-Marczewski-Pondiczery verallgemeinern. Damit können wir die Homöomorphie zwischen auf den ersten Blick ähnlich erscheinenden Räumen widerlegen. Wir werden damit auch die Existenz von generalisiert unabhängigen Familien großer Kardinalität folgern können. Die Existenz solcher von W. Hu eingeführten Familien großer Kardinalität war bisher noch nicht gesichert.

J. G. Ceder und T. Pearson konnten beweisen, dass sich die maximale Auflösbarkeit der einzelnen Grundräume auf das Tychonow-Produkt vererbt. Wir werden das gleiche auch für das k-Box-Produkt beweisen können. Wir werden auf weitere Typen von Auflösbarkeit eingehen und untersuchen, ob diese sich überhaupt unterscheiden können.

Wir werden die Zellularität des k-Box-Produkts untersuchen und diese analog zu D. Kurepas Ergebnissen über die Zellularität des Tychonoff-Produkts abschätzen können.

Obwohl das k-Box-Produkt die Kompaktheit für überabzählbare Kardinalzahlen k nicht erhält, werden wir im letzten Kapitel beweisen, dass sich die k-Kompaktheit für extrem große Kardinalzahlen k auf das k-Box-Produkt vererbt. Es gibt also auch hier ein Analogon für die Vererbung der Kompaktheit auf das Tychonow-Produkt.

This dissertation aims to prove that many well-known and often used properties of the Tychonoff-topology apply to the k-box-product in an analogous form as well.

In the field of set theory it is often helpful to use topological terms in order to describe results or to provide a certain degree of illustration to the often very abstract set-theoretical terms. The k-box-product is a useful tool in this context. It is for example capable of illustrating families of k-large oscillation.

For an infinite cardinal k the topological base of the k-box-product consists of the product of open subsets where only less than k factors are not equal to the whole factor space. The well known Tychonoff-product (introduced by A. Tychonoff in 1930; the topology is often just called product-topology) and the box-product (introduced by H. Tietze in 1923) are special cases of the k-box-product.

We will show that the density character of the k-box-product can be estimated in a similar way to the famous theorem of Hewitt-Marczewski-Pondiczery. Thereby we can prove that certain k-box-products of similar spaces are not homeomorphic to each other. We can also prove the existence of generalised independent families of large cardinality, which were first introduced by W. Hu.

We will prove that the k-box-product of maximally resolvable spaces is also maximally resolvable by following the proof of J. G. Ceder and T. Pearson for the maximal resolvability of the Tychonoff-product. We will also take a closer look at the different types of resolvability and examine in which contexts there can be a difference between them.

D. Kurepa estimated the cellularity of the Tychonoff-product. Following his argumentation we can prove an analogous estimation of the cellularity of the k-box-product.

Even though the k-box-product does not inherit the compactness of the factor spaces for uncountable cardinals we will show that the k-box-product does inherit the k-compactness of the factor spaces for very big cardinals. We can therefore prove the existence of an analogous form of the famous Tychonoff-theorem.