Yang-Mills-Theorie in Coulombeichung

Abstract

In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir im Rahmen des funktionalen Schrödingerbilds die Vakuumstruktur der Yang-Mills-Theorie in der Coulombeichung und diskutieren insbesondere das von Gribov formulierte Szenario zum Farbeinschluß (confinement) der Quarks. Dieses Phänomen ist ohne Zweifel eine der bedeutendsten Eigenschaften stark gekoppelter Eichsysteme und erfordert eine nicht-perturbative Behandlung des Niederenergiesektors der Quantenchromodynamik (QCD). Unter den vielen Vorschlägen zur Erforschung der für den Farbeinschluß verantwortlichen Mechanismen stellt das Gribov-Szenario einen interessanten Ausgangspunkt dar. Dieser Formalismus basiert auf der QCD in der Coulombeichung und erlaubt einen direkten Zugang zum nicht-abelschen Coulombpotential, welches die Wechselwirkung zwischen zwei statischen Quarks beschreibt.

Nach einer kurzen Einführung behandeln wir zunächst die für die Arbeit relevanten Grundlagen. Dazu erläutern wir den Aufbau der Yang-Mills-Theorien, deren kanonische Quantisierung in der Weyleichung und das funktionale Schrödingerbild. Die Diskussion der minimalen Coulombeichung und des Gribov-Problems bilden dann die Ausgangsbasis für die anschließende Eichfixierung der Coulombeichung mit der Faddeev-Popov-Methode und die Auflösung des Gaußschen Gesetzes.

Im dritten Kapitel lösen wir die funktionale Yang-Mills-Schrödingergleichung in der Coulombeichung für den Vakuumzustand mit Hilfe eines Variationsprinzips. Dazu verwenden wir für das Vakuumwellenfunktional einen physikalisch motivierten Ansatz, welcher am Gribov-Horizont divergent ist. Die Minimierung der bis zur zweiten Schleifenordnung berechneten Vakuumenergie führt auf ein gekoppeltes System nichtlinearer Schwinger-Dyson-Integralgleichungen für die Gluonenergie, den Geist- und Coulombformfaktor und die Krümmung im Konfigurationsraum. Sowohl eine analytische Untersuchung als auch die volle numerische Lösung dieser Integralgleichungen zeigen im infraroten Sektor eine divergente Gluonenergie. Dieses Ergebnis deutet auf die Abwesenheit freier Gluonen bei kleinen Energien im physikalischen Spektrum und damit auf den Farbeinschluß der Gluonen hin. Der Geistformfaktor zeigt im infraroten Grenzfall ebenfalls ein divergentes Verhalten und erzeugt daher ein für große Abstände linear ansteigendes statisches Quarkpotential. Wir finden dieses physikalische Verhalten, also den Farbeinschluß der Gluonen und Quarks, sowohl in D=2+1 als auch in D=3+1 Dimensionen. Unsere Untersuchungen zeigen, daß die vollständige Implementierung der Krümmung des Konfigurationsraumes, welche durch den Faddeev-Popov-Operator zum Ausdruck kommt, von zentraler Bedeutung für die Eigenschaften des Farbeinschlusses ist. Eine Vernachlässigung dieser Krümmung in D=3+1 Dimensionen führt zu einem völlig anderen Infrarotverhalten und insbesondere zum Verlust des Farbeinschlusses der Gluonen und Quarks. Im Vergleich dazu hat die Vernachlässigung der Krümmung in der D=2+1 dimensionalen Yang-Mills-Theorie noch weitreichendere Konsequenzen - denn ohne die Krümmung im Konfigurationsraum existiert keine konsistente Lösung des gekoppelten Schwinger-Dyson-Integralgleichungssystems.

Im vierten Kapitel untersuchen wir mit einem verallgemeinerten Variationsansatz für das Vakuum den Einfluß unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen am Gribov-Horizont auf die nicht-perturbativen Eigenschaften der Yang-Mills-Theorie und damit insbesondere auf den Farbeinschluß. Dieser verallgemeinerte Ansatz enthält eine beliebige Potenz der Faddeev-Popov-Determinante und beinhaltet dadurch höchst unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsamplituden für die Feldkonfigurationen am Gribov-Horizont. Eine gründliche Untersuchung mit diesem Ansatz zeigt, daß die Variationslösung der stationären Schrödingergleichung innerhalb des Zweischleifenniveaus in der Vakuumenergie unabhängig von der Potenz der Faddeev-Popov-Determinante ist. Damit verändern sich insbesondere im infraroten Bereich weder der Gluon- noch der Geistpropagator, welcher den linearen Anstieg im nicht-abelschen Coulombpotential verursacht. Die durchgeführte Variationsbehandlung führt auf ein eindeutiges Infrarotverhalten des Vakuumwellenfunktionals und daher auf eine eindeutige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Feldkonfigurationen am Gribov-Horizont. In diesem infraroten Grenzfall wird das Vakuumwellenfunktional unabhängig vom Eichfeld und beschreibt daher ein stochastisches Vakuum, in welchem die Farbfreiheitsgrade nicht über große Entfernungen propagieren können. Diese Form des Wellenfunktionals im Infraroten stimmt mit dem exakten Wellenfunktional in D=1+1 Dimensionen überein.

In this thesis we study the Yang-Mills vacuum structure by using the functional Schrödinger picture in Coulomb gauge. In particular we discuss the scenario of colour confinement, which was originally formulated by Gribov. The understanding of the low energy sector of QCD is one of the most challenging problems in quantum field theory and requires a nonperturbative treatment. Among the different mechanism to explain colour confinement, the Gribov scenario gained increasing interest in the recent years. This formalism is based on QCD in Coulomb gauge and allows a direct access to the non-Abelian Coulomb potential between static colour charges.

After a short introduction, we recall some basic aspects of Yang-Mills theories, its canonical quantization in the Weyl gauge and the functional Schrödinger picture. We then consider the minimal Coulomb gauge and the Gribov problem of the gauge theory. The gauge fixing of the Coulomb gauge is done by using the Faddeev-Popov method, which enables the resolution of the Gauss law - the constraint on physical states.

In the third chapter, we will variationally solve the stationary Yang-Mills Schrödinger equation in Coulomb gauge for the vacuum state. Therefor we use a vacuum wave functional, which is strongly peaked at the Gribov horizon. The vacuum energy functional is calculated and minimized resulting in a set of coupled Schwinger-Dyson equations for the gluon energy, the ghost and Coulomb form factors and the curvature in gauge orbit space. Using the angular approximation these integral equations have been solved analytically in both the infrared and the ultraviolet regime. In the latter case, we have found the familiar perturbative asymptotic behaviours. In the infrared the gluon energy diverges indicating the absence of free gluons at low energies, which is a manifestation of confinement. The ghost form factor is infrared diverging and gives rise to a linear rising static quark potential. The asymptotic analytic solutions in the infrared and ultraviolet regime are reasonably well reproduced by the full numerical solutions of the coupled Schwinger-Dyson equations. Our investigations show that the inclusion of the curvature, i.e. the proper metric of the orbit space, given by the Faddeev-Popov determinant, is crucial in order to obtain the confining properties of the theory. When the curvature in D=3+1 dimensions is discarded free gluons exist in the infrared and the static quark potential is no longer confining. In D=2+1 dimensions we can prove that there is no consistent solution of the integral equations if we neglect the curvature in orbit space.

In the fourth chapter, we investigate the dependence of the Yang-Mills wave functional in Coulomb gauge on the Faddeev-Popov determinant. We use a Gaussian wave functional multiplied by an arbitrary power of the Faddeev-Popov determinant. We show that within the resumation of one-loop diagrams the stationary vacuum energy is independent of the power of the Faddeev-Popov determinant. Furthermore, the wave functional becomes field-independent in the infrared describing a stochastic vacuum, in which the colour cannot propagate over large distances. The infrared limit of the wave functional becomes exact in D=1+1 dimensions. Our investigations show that the infrared limit is rather robust concerning details of the variational ansätze for the Yang-Mills wave functional. The infrared limit is exclusively determined by the divergence of the Faddeev-Popov determinant at the Gribov horizon.