Heat Semigroups and Diffusion of Characteristic Functions

Abstract

In this work we study the classical heat equation in $R^n$ if the initial data is given by the characteristic function $1_D$ of a compact set $D$ in $R^n$. Physically this means that at the beginning of the evolution we have a uniform distribution of heat in $D$. The heat semigroup $(T(t))$ on $L^p(R^n)$ applied to the characteristic function $1_D$ then yields the resulting heat flow $T(t)1_D$ for all times $t>0$ with initial data $1_D$. Using the heat kernel of $R^n$ $T(t)1_D$ can be represented by an explicit integral formula.

We are particularly interested in the evolution of the $L^2$-norm of $T(t)1_D$ which by the elementary relation between norm and inner product in the Hilbert space $L^2(R^n)$ is closely related to the amount of heat that is still inside $D$ after time $t>0$.

First (Chapter 2) we focus on the short time behaviour of the heat flow. We start with a detailed treatment of the evolution of the level sets of $T(t)1_D$ and determine the pointwise asymptotic behaviour for this evolution: We show that for short times the evolution of the level sets admits an asymptotic expansion in powers of $t^{1/2}$. We determine the coefficients up to order $t^2$ in terms of geometric invariants of the boundary $\partial D$ and give a general formula for the further coefficients of higher order.

We then show that the short time behaviour of the $L^2$-norm of the flow $T(t)1_D$ is controlled by the perimeter of $D$. As a consequence we obtain a comparison result stating that for two arbitrary compact sets $A,D$ in $R^n$ of the same volume the one with smaller perimeter keeps for small times the heat better than the other.

Afterwards (Chapter 3) we concentrate on large time phenomena of the flow. In particular, we study the analogue of the question treated at the end of Chapter 2: Given two compact sets $A,D$ in $R^n$ of the same volume. Which one keeps the heat better for large times? We again prove a comparison theorem stating now that this holds for the one which has the smaller second central moment. In addition we give further criteria on the fourth central moments and on the tensors of inertia of $A$ and $D$ yielding an answer in case the second central moments are equal.

We conclude with considerations on the question how much geometry of $D$ is already determined if we know the flow $T(t)1_D$ on a (maybe small) time interval.

Die vorliegende Arbeit behandelt die klassische Wärmeleitungsgleichung im $R^n$, wenn als Anfangswert die charakteristische Funktion $1_D$ einer kompakten Menge $D$ im $R^n$ gegeben ist. Physikalisch bedeutet dies, dass wir zu Beginn der Evolution eine gleichmäßige Wärmeverteilung in $D$ vorliegen haben. Die Wärmeleitungshalbgruppe $(T(t))$ auf $L^p(R^n)$, angewandt auf die charakteristische Funktion $1_D$, liefert dann für alle Zeiten $t>0$ den entstehenden Wärmefluss $T(t)1_D$ zum Anfangswert $1_D$. Mit Hilfe des Wärmeleitungskerns des $R^n$ kann $T(t)1_D$ mit einer expliziten Integralformel dargestellt werden.

Vor allem sind wir nun an der Evolution der $L^2$-Norm von $T(t)1_D$ interessiert, die über die elementare Beziehung zwischen Norm und Skalarprodukt im Hilbertraum $L^2(R^n)$ eng mit der Wärmemenge zusammenhängt, die sich nach Zeit $t>0$ noch in $D$ befindet.

Zunächst (Kapitel 2) konzentrieren wir uns auf das Kurzzeitverhalten des Wärmeflusses. Wir beginnen mit einer genauen Untersuchung der Evolution der Niveauflächen von $T(t)1_D$ und bestimmen das asymptotische Verhalten dieser Evolution: Wir zeigen, dass für kurze Zeiten die Bewegung der Niveauflächen eine asymptotische Entwicklung in Potenzen von $t^{1/2}$ besitzt. Wir bestimmen die Koeffizienten bis zur Ordnung $t^2$ in Termen geometrischer Invarianten des Randes $\partial D$ und geben eine allgemeine Formel für die Koeffizienten höherer Ordnung an.

Wir zeigen dann, dass das Kurzzeitverhalten der $L^2$-Norm des Flusses $T(t)1_D$ für eine beliebige Caccioppoli-Menge $D$ im $R^n$ durch den Perimeter von $D$ kontrolliert ist. Als Folgerung erhalten wir einen Vergleichssatz, der sagt, dass für zwei beliebige kompakte volumengleiche Mengen $A,D$ im $R^n$ diejenige mit dem kleineren Perimeter für kurze Zeiten Wärme besser hält als die andere.

Anschließend (Kapitel 3) konzentrieren wir uns auf Langzeitphänomene des Flusses. Vor allem betrachten wir das Analogon der Frage, die wir am Ende von Kapitel 2 behandelt haben: Gegeben zwei kompakte volumengleiche Mengen $A,D$ im $R^n$. Welche hält für lange Zeiten Wärme besser? Wir beweisen wiederum einen Vergleichssatz, der nun sagt, dass dieses für diejenige Menge gilt, die kleineres zweites Zentralmoment hat. Darüberhinaus geben wir Kriterien für die vierten Zentralmomente und die Trägheitstensoren von $A$ und $D$ an für den Fall, dass die zweiten Zentralmomente gleich sind.

Wir schließen die Arbeit mit Überlegungen zu der Frage, wie viel Geometrie von $D$ bereits bestimmt ist, wenn wir den Fluss $T(t)1_D$ auf einem (eventuell kleinen) Zeitintervall kennen.