Aspects of confinement in Lattice Gauge Field Theory

Abstract

Bis zum heutigen Tag stellt das Phänomen des Confinements in der QCD ein faszinierendes Problem dar. Der Zentrumsvortexmechanismus beschreibt eine mögliche Erklärung des Confinements im rein gluonischen Anteil der QCD. In der vorliegenden Dissertation konzentrieren wir unsere Untersuchungen auf die Bedeutung der Zentrumsvortizes für die Physik im infraroten Bereich der SU(2) Yang-Mills-Theorie mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen der SU(2) Gittereichtheorie.

Am Anfang geben wir einen kurzen Überblick über die Gittereichtheorie und die verwendeten numerischen Algorithmen, die für die Monte-Carlo-Simulationen notwendig sind. Anschließend führen wir das Bild der Zentrumsvortizes für den Farbeinschluß ein und erklären den Phasenübergang von der Confinementphase in die Deconfinementphase mittels des Perkolation-Deperkolation-Phasenübergangs der Zentrumsvortizes.

Durch einen Vergleich der räumlichen Stringtension sowohl der dreidimensionalen reinen Yang-Mills-Theorie als auch der dreidimensionalen Yang-Mills-Theorie gekoppelt an adjungierte Higgsfelder mit der Stringtension berechnet mit zentrumsprojizierten Linkvariablen, weisen wir nach, dass die räumliche Stringtension zentrumsdominant ist. Desweiteren finden wir eine Vortexflächendichte, die übereinstimmt mit den Ergebnissen aus der vierdimensionalen reinen Yang-Mills-Theorie. Beide Ergebnisse stützen das Zentrumsvortexbild der Hochtemperaturphase der vierdimensionalen Yang-Mills-Theorie.

Darauf folgend untersuchen wir die Bedeutung der Zentrumsvortizes für das Verhalten der Greenschen Funktionen, d.h. der Gluon- und Geistformfaktoren, im Infrarotbereich und ihren Einfluß auf den Farbeinschluß. Mit Hilfe von neuen numerischen Algorithmen berechnen wir direkt die Formfaktoren, die die Abweichung eines Propagators von einem freien Propagator angeben. Die Berechnungen der Formfaktoren werden in der Landaueichung vollzogen. Die in den Formfaktoren enthaltene Information über den Farbeinschluß wird extrahiert, indem die Zentrumsvortizes aus den Konfigurationen der Linkvariablen eliminiert werden. Dies führt auf ein Modell, das keinen Farbeinschluß besitzt.

In der vollständigen, farbeinschließenden Theorie besitzt der Gluonformfaktor ein ausgeprägtes Maximum im mittleren Impulsbereich, während das bekannte Ergebnis aus der Störungsrechnung bei hohen Impulsen reproduziert wird. Nahe den verschwindenden Impulstransfers zeigt der Gluonformfaktor ein von einer Masse dominiertes Verhalten. Betrachtet man das nicht-farbeinschließende Modell, so verliert der Gluonformfaktor im mittleren Impulsbereich an Wert und zeigt eine klare Abweichung von dem Verhalten des Gluonformfaktors der vollständigen Theorie. Desweiteren finden wir einen divergenten Geistformfaktor im Infrarotbereich. Unser Ergebnis stimmt mit der Gribov-Zwanziger-Bedingung für Confinement überein. Diese Bedingung setzt die Divergenz des Geistformfaktors am Gribovhorizont in direkten Bezug zu dem Farbeinschluß. Betrachten wir das nicht-farbeinschließende Modell, so divergiert der Geistformfaktor im Infrarotbereich nicht mehr. Die im Geistformfaktor beinhalteten Signale des Confinements gehen verloren, wenn der Beitrag der Zentrumsvortizes eliminiert wird.

Da die laufende Kopplung direkt aus den Gluon- und Geistformfaktoren berechnet werden kann, zeigen wir ihre Abhängigkeit von den Zentrumsvortizes im Infrarotlimes. Die laufende Kopplung der vollständigen Theorie und des nicht-farbeinschließenden Modells reproduzieren das perturbative Verhalten in dem Bereich, in dem die Störungsrechung gültig ist. Im Bereich der mittleren Impulse ist die laufende Kopplung des Modells stark unterdrückt und scheint im Infrarotlimes zu verschwinden, wohingegen die laufende Kopplung der vollständigen Theorie stark ansteigt und sich im Infrarotlimes einer nicht-verschwindenden Konstante anzunähern scheint.

Anschließend vergleichen wir unsere Meßdaten mit den Ergebnissen, die man aus dem Dyson-Schwinger-Zugang erhalten hat. Beide Resultate stimmen qualitativ gut überein. Auch werden die Formfaktoren bei endlichen Temperaturen berechnet. Unsere Resultate bei hohen Temperaturen stimmen ebenfalls mit einer nicht verschwindenden Stringtension überein. Abschließend betrachten wir den Einfluß der Gribovkopien auf die Formfaktoren in der Landaueichung. Die Formfaktoren sind qualitativ stabil gegenüber dem Gribovrauschen.

Schlußendlich konnten wir die Bedeutung der Zentrumsvortizes für das Infrarotverhalten der Greenschen Funktionen der reinen Yang-Mills-Theorie und für den Farbeinschluß aufzeigen. Unsere Resultate stellen eine Beziehung zwischen dem Confinementmechanisum der Zentrumsvortizes und dem Gribov-Zwanziger-Confinementkriterium her.

Down to the present day, the phenomenon of color confinement represents still a challenging problem of quantum chromodynamics. In the pure gluonic sector of QCD, the center vortex confinement mechanism describes a possible explanation of color confinement. In the present thesis, we concentrate our investigations on the relevance of center vortices for the infra-red physics of pure SU(2) Yang-Mills theory by means of Monte-Carlo simulations of SU(2) lattice gauge field theory.

At the beginning, we give a short review of lattice gauge field theory and of the numerical algorithms needed for our Monte-Carlo simulations. Subsequently, we introduce the center vortex mechanism of color confinement and we explain the confinement-deconfinement phase transition of pure Yang-Mills theory by the percolation-depercolation phase transition of center vortices.

By a comparison of the spatial string tension of the three-dimensional pure Yang-Mills theory as well as three-dimensional pure Yang-Mills theory coupled to adjoint Higgs fields with the value of the string tension obtained from the pure center vortex content, we show that the spatial string tension is center dominated. Furthermore, we find a vortex area density being in accordance with the vortex area density of the four-dimensional theory. Both findings support the center vortex picture of the high temperature phase of four-dimensional Yang Mills theory.

Afterwards, we investigate the relevance of center vortices for the behavior of Green's functions, i.e. the gluon and ghost form factors, in the infra-red region and their importance for color confinement. By using novel numerical algorithms, we measure directly the form factors giving the deviation of the propagators from the free ones. The calculations of the form factors were performed in Landau gauge. The information of color confinement encoded in the form factors is extracted by removing the center vortices from the ensemble of link variables by hand. This results in a non-confining model.

In the full, confining theory the gluon form factor has a rather pronounced peak in the medium momentum range, while at high momenta the result obtained by perturbative Yang-Mills theory is reproduced. Close to zero momentum transfer, the gluon form factor is mass dominated. Considering the non-confining model, the gluon form factor looses a good part of strength in the medium momentum range showing a clear deviation form the gluon form factor of the confining theory. Furthermore, we find a divergent ghost form factor in the infra-red region. Our result is in accordance with the Gribov-Zwanziger criterion for color confinement which directly relates the divergence of the ghost form factor at the Gribov horizon to color confinement. If we consider the non-confining model, the ghost form factor ceases to diverge in the infra-red limit. Hence, the signals of confinement encoded in the ghost form factor are lost when the center vortex content of the theory is eliminated.

Using the fact that the running coupling constant can be obtained directly from the gluon and ghost form factors, we show its dependence on the center vortex content in the infra-red limit. The running coupling constants of the full theory and of the non-confining model reproduce nicely the perturbative running coupling constant in the region where perturbation theory holds. In the region of medium momenta, the strength of the running coupling of the non-confining model is strongly suppressed and seems to vanish in the infra-red limit, whereas the running coupling of the full theory increases and seems to reach a non-zero constant in the infra-red limit.

Subsequently, we compare our measured data with the results obtained by the Dyson-Schwinger approach. Both findings are in good agreement on a qualitative level. The form factors are also computed at finite temperatures. Our results at high temperatures agree with a non-vanishing spatial string tension. Finally, we consider the influence of Gribov copies on the form factors in Landau gauge. On a qualitative level, the form factors are stable against Gribov noise.

In conclusion, we have shown the relevance of center vortices for the infra-red behavior of Green's functions of pure Yang-Mills theory and for color confinement. Our results establish a connection between the center vortex mechanism of confinement and the Gribov-Zwanziger confinement criterion.