Integration stark gedämpfter mechanischer Systeme mit Runge-Kutta-Verfahren

Abstract

Mehrkörpersysteme sind in Forschung und industrieller Entwicklung von gleichermaßen hoher Bedeutung, da sie in so verschiedenen Gebieten wie Astrophysik, Molekulardynamik, Fahrzeugtechnik, Robotik oder Biomechanik auftreten. Ein Mehrkörpersystem beschreibt ein oder mehrere Objekte als Verbund von starren oder elastischen Körpern. Dabei wirken bestimmte Kräfte zwischen den unterschiedlichen Körpern. Bei mechanischen Systemen sind die einzelnen Körper durch masselose Verbindungen wie Gelenke, Federn oder Dämpfer verknüpft.

Ein zentrales Problem, das bei der Modellbildung von Mehrkörpersystemen auftritt, ist die Beschreibung solcher Verbindungen. Dem wird meist durch Zwangsbedingungen Rechnung getragen, die durch Einschränkung auf ein bestimmtes Koordinatensystem oder durch nichtlineare Nebenbedingungen eingeführt werden können. In Fahrzeugdynamik, Biomechanik und Robotik werden anstelle dieser Zwangsbedingungen häufig Feder-Dämpfer-Elemente verwendet, die oftmals durch große Dämpfungskonstanten gekennzeichnet sind. Bei der mathematischen Formulierung führt dies auf 'stark gedämpfte mechanische Systeme', das heißt auf Bewegungsgleichungen, in denen starke Dämpfungskräfte gegenüber anderen Kräften dominieren.

Aufgrund der starken Dämpfung erhalten wir steife Differentialgleichungen. Daher kommen bei der Wahl eines geeigneten Integrators zur numerischen Approximation der Lösung keine explizite Verfahren in Betracht. Diese würden nur bei winzigen Schrittweiten und entsprechend hohem Rechenaufwand eine akzeptable Genauigkeit erreichen. In numerischen Experimenten zeigt sich aber, dass gewisse implizite Methoden, beispielsweise RadauIIA-Verfahren, zur Erreichung einer vorgegebenen Genauigkeit eine Schrittweitenwahl unabhängig von der Größe des Dämpfungsparameters gestatten. Hierfür liegen jedoch keine theoretische Erkenntnisse vor. Deshalb wird in dieser Arbeit untersucht, welche Schwierigkeiten bei der numerischen Behandlung von stark gedämpften mechanischen Systemen auftreten. Anhand der Klasse der Runge-Kutta-Verfahren suchen wir Bedingungen, die ein Verfahren erfüllen muss, um effizient für eine numerische Simulation eingesetzt werden zu können.

Zünächst werden Bewegungsgleichungen für unser Ausgangssystem, einer singulär gestörten gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung, eingeführt. Nach der Bereitstellung zweier Transformationen dieser Differentialgleichung charakterisieren wir glatte Lösungen durch eine asymptotische Entwicklung nach Potenzen des Kehrwerts des Dämpfungsparameters. Hierbei wird deutlich, dass sich die glatten Lösungen im Fall sehr großer Dämpfungskonstanten den Lösungen eines differential-algebraischen Gleichungssystems vom Index 2 annähern. Die analytische Untersuchung des Ausgangssystems wird abgeschlossen durch eine Charakterisierung des qualitativen Verhaltens der Lösungen. Wir beweisen die Existenz einer attraktiven invarianten Mannigfaltigkeit.

Im zweiten Teil der Arbeit werden zuerst numerische Verfahren zur Zeitintegration unseres Problems vorgestellt. Die impliziten Runge-Kutta-Verfahren werden durch bestimmte Voraussetzungen, die sich aus der Problemstruktur ergeben, auf spezielle Klassen von Methoden eingegrenzt. Bei der Fehleranalysis für das stark gedämpfte mechanische System sind numerische Lösungen der auftretenden differential-algebraischen Systeme maßgeblich beteiligt. Zunächst werden die nötigen technischen Details, also Existenz und lokale Eindeutigkeit der Runge-Kutta-Lösungen, Einfluss von Rundungsfehlern sowie lokaler Fehler und Fehlerfortpflanzung behandelt. Zur Berechnung der globalen Fehler wird desweiteren eine asymptotische Entwicklung für die numerischen Lösungen benötigt. Die Behandlung eines Anwendungsbeispiels aus der Biomechanik schließt die Arbeit ab.

Multi-body systems are meaningful in research and industrial development, because they occur in various fields like astrophysics, molecular dynamics, automotive engineering, robotics or biomechanics. A multi-body system describes a single or more objects as composite of rigid or elastic bodies. In doing so, certain forces are acting between the different bodies. Considering mechanical systems, the bodies are linked by massless interconnections like joints, springs or dampers.

Modelling multi-body systems, a central problem is the description of such interconnections. This is mostly solved by constraints, that might be introduced by restrictions to certain coordinate systems or by nonlinear side conditions. Instead of these constraints, spring-damper-elements, characterized by large damping constants are frequently used in vehicle dynamics, biomechanics and robotics. In the mathematical formulation, this leads to 'strongly damped mechanical systems', i.e to equations of motion where strong damping forces dominate other forces.

Because of the strong damping, we obtain stiff differential equations. Thus, in choosing an appropriate integrator for the numerical approximation of the solution, explicit methods generally will not work. These would only attain an acceptable accuracy by using tiny stepsizes and accordingly high computational costs. In numerical experiments, it turns out, that some implicit methods, e.g. RadauIIA methods, allow a choice of stepsizes independent from the the size of the damping parameter in order to attain a default accuracy. Therefor no theoretical insights exist. Hence, this work investigates the difficulties which occur in the numerical treatment of strongly damped mechanincal systems. With the class of Runge-Kutta methods we search for conditions, that must be fullfilled by a method in order to be initiated efficiently for a numerical simulation.

First of all, we introduce equations of motion for our system, a singular perturbed ordinary differential equation of second order. After providing two transformations of this differential equation, we characterize smooth solutions by an asymptotic expansion after powers of the reciprocal of the damping parameter. In this connection it turns out that in the case of very large damping constants, smooth solutions approach the solutions of a differenetial algebraic equation of index 2. The analysis of the system is concluded by a characterization of the qualitative behavior of the solution. We prove the existence of an attractive invariant manifold.

In the second part of the work, we introduce numerical methods for the time integration of our problem. Arising form the problem structure we obtain certain assumptions narrowing the implicit Runge-Kutta methods down to specific classes of methods. Numerical solutions of the differential algebraic systems are involved in the error analysis for the strongly damped mechanical system. First we discuss necessary technical details like existence and local uniqueness of the Runge-Kutta solutions, the influence of perturbations as well as the local error and error propagation. For the computation of the global error we need an asymptotic expansion of the numerical solutions. The treatment of an application from biomechanics concludes the work.