Quantenstochastische Integration in Hilbertmoduln

Abstract

Im Rahmen einer nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie entstehen viele stationäre (Quanten-)Markov-Prozesse durch Kopplung eines quantenmechanischen Systems an ein Wärmebad. Wir beschreiben dieses Bad durch ein verallgemeinertes weißes Rauschen, d.h., einer von Neumann Algebra mit einem treuen normalen Zustand, einer Zeitenwicklung und einer Filtrierung durch eine Familie von von Neumann Unteralgebren, indiziert durch Zeitintervalle. Das weiße Rauschen ist operatorwertig und setzt daher die Existenz einer bedingten Erwartung auf das quantenmechanische System voraus. Stochastische Unabhängigkeit wird dadurch beschrieben, daß die bedingte Erwartung des Produkts zweier Elemente aus von Neumann Unteralgebren zu disjunkten Zeitintervallen faktorisiert. Die Kopplung ist durch einen unitären Kozyklus bzgl. der Zeitentwicklung des weißen Rauschens gegeben. Sie soll als Lösung einer geeigneten stochastischen Differentialgleichung gewonnen werden. Zu diesem Zweck betten wir das algebraische System auf kanonische Weise in ein Hilbertmodul ein. In diesem Raum lassen sich additive Kozyklen zum weißen Rauschen als Verallgemeinerung der klassischen Brownschen Bewegung definieren. Mit ihrer Hilfe entwickeln wir stochastische Integrale vom Ito Typ und eine Theorie stochastischer Differentialgleichungen. Als zentrales Ergebnis beweisen wir eine 1-1-Beziehung zwischen bestimmten additiven Kozyklen und unitalen Kozyklen, die die Anpassung des algebraischen Begriffs eines unitären Kozyklus an die Hilbertmodul-Situation darstellt: Ausgehend von einem unitalen Kozyklus liefert eine Standardkonstruktion einen additiven Kozyklus, während der unitale Kozyklus als Lösung einer geeigneten stochastischen Differentialgleichung gewonnen wird. Für den Fall eines unitären Kozyklus erhalten wir einen stationären Markov-Prozeß als Dilatation einer Halbgruppe von Übergangsoperatoren. Ihren Lindblad-Generator können wir mit Hilfe der additiven Kozyklen identifizieren

In the scope of non-commutative probability theory many stationary (quantum) Markov processes arise from couplings of a quantum mechanical system to a heat bath. We model this heat bath by a generalized white noise, that is a von Neumann algebra with a faithful normal state, equipped with a time evolution and a filtration given by a family of von Neumann subalgebras indexed by time-intervals. Moreover, the white noise is operator valued and therefore requires the existence of an initial conditional expectation onto the von Neumann algebra of the quantum mechanical system. Stochastic independence is described by a factorization property of the product of elements from two von Neumann subalgebras with disjoint time intervals under the initial conditional expectation. The coupling is given by an unitary cocycle with respect to the white noise evolution. It is supposed to be the solution of a stochastic differential equation. With this in mind we embed the white noise in a canonical way into a Hilbert module. In this module non-commutative generalizations of classical Brownian motion show up as additive cocycles with respect to the white noise evolution. They give rise to stochastic integrals of Ito type and a theory of stochastic differential equations. As a main result we prove a one-to-one correspondence between certain additive cocycles and unital cocycles, an adaption of the algebraic notion of unitary cocycles to Hilbert modules: Starting from a unital cocycle a standard construction yields an additive cocycle, whereas the unital cocycle is the solution of an appropriate stochastic differential equation. In case of a unitary cocycle we obtain a stationary quantum Markov process as dilation of a semigroup of transition operators. Its Lindblad generator is identified in terms of additive cocycles.