Relatives simpliziales Volumen

Abstract

Wir untersuchen, wie sich das simpliziale Volumen einer berandeten Mannigfaltigkeit relativ zu Kodimension 1-Objekten verh'alt.

Wir diskutieren, wie sich das simpliziale Volumen 'andert, wenn man Mannigfaltigkeiten entlang amenabler Untermannigfaltigkeiten des Randes verklebt. Insbesondere zeigen wir, dass das simpliziale Volumen von 3-Mannigfaltigkeiten additiv f'ur Verkleben inkompressibler Tori und superadditiv f'ur Verkleben inkompressibler Zylinder ist.

Wir diskutieren effiziente Fundamentalzykel f'ur hyperbolische Mannigfaltigkeiten von endlichem Volumen. Falls die Dimension mindestens 3 und die Mannigafaltigkeit nicht Gieseking-'ahnlich ist, zeigen wir, dass alle effizienten Fundamentalzykel durch Gromov's Haarmass-Konstruktion erhalten werden.

Dies wenden wir an, um Subadditivit'at des hyperbolischen Volumens f'ur Verkleben totalgeod'atischer R'ander zu zeigen.

Als eine weitere Anwendung erhalten wir Nichttrivialit'at der Gromov-Norm f'ur asymptotisch separierte Bl'atterungen auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten.

We investigate the behaviour of the simplicial volume of manifolds with boundary with respect to codimension 1 objects.

We discuss the change of simplicial volume under glueing along amenable submanifolds of the boundary. In particular, we show that simplicial volume of 3-manifolds is additive for glueing along incompressible tori and superadditive for glueing along incompressible annuli.

We discuss efficient fundamental cycles for hyperbolic manifolds of finite volume. If the dimension is at least 3 and the manifold is not Gieseking-like, we show that all efficient fundamental cycles are obtained by Gromov's smearing construction.

We apply this to show subadditivity of hyperbolic volume for glueing along totally geodesic boundaries.

As another application we obtain nontriviality of the foliated Gromov norm for asymptotically separated laminations on hyperbolic manifolds.