Links und Linkdiagramme als Cobordismen-Kategorien und deren Bedeutung für Khovanov-Floer-Theorien

Abstract

In der Knotentheorie wünscht man Knoten und Links bis auf Deformation des umgebenden Raumes zu klassifizieren. Die Unterscheidung verschiedener Links erfolgt vor allem mit Hilfe von Invarianten. Eine berühmte Linktypinvariante ist das Jones-Polynom. Links lassen sich als Objekte einer Kategorie auffassen, wenn man als Morphismen die Cobordismen zwischen Links (modulo Isotopie) betrachtet. Die Khovanov-Homologie, welche eine Verallgemeinerung des Jones-Polynoms ist, ergibt sich dann als funktorielle Linktypinvariante, weshalb man sie auch als Kategorifizierung des Jones-Polynoms bezeichnet. Mit Hilfe von Spektralsequenz-Konstruktionen und Floer-Homologien lassen sich viele bedeutende Eigenschaften der Khovanov-Homologie beweisen, etwa dass diese den Unknoten detektiert. Khovanov-Floer-Theorien bieten eine Möglichkeit, solche Spektralsequenzen wiederum als Funktoren aufzufassen. Abschließend wird die Spektralsequenz der filtrierten Bar-Natan-Theorie vorgestellt. Der Satz, dass diese eine Khovanov-Floer-Theorie bildet, vollendet einen neuen, einfacheren Beweis, dass Rasmussens s-Invariante eine Knotentypinvariante ist.