Some estimates for fractional and Carleson operators and sparse domination of uncentered variational truncations

Abstract

Nach den einführenden Kapiteln 1 und 2 untersuchen wir im ersten Teil dieser Arbeit, bestehend aus den Kapiteln 3-6, gewichtete Ungleichungen für die dyadische Version sogenannter nicht homogener, bilinearer und linearer, fraktionaler oder Carleson Operatoren.

In Kapitel 3 untersuchen wir auch schwache gewichtete Abschätzungen für dyadische bilineare Operatoren mit Summation über dünnbesetzte Mengen dyadischer Würfel. In diesem Fall entfernen wir die Abhängigkeit der Abschätzung von der multilinearen Fujii-Wilson A∞-Charakteristik.

In Kapitel 4 verallgemeinern wir gewichtete Spurungleichungen von Verbitsky auf Operatoren mit nicht notwendigerweise homogenem Kern.

Die Hauptresultate des ersten Teils dieser Arbeit befinden sich in Kapiteln 5 und 6. Hier charakterisieren wir gewichtete starke Abschätzungen für dyadische bilineare Operatoren. Diese Ergebnisse erweitern die entsprechende Charakterisierung für lineare Operatoren. In beiden Kapiteln betrachten wir Lebesgueexponenten >1.

In Kapitel 5 betrachten wir Lebesgueexponenten 0<q<1. Wir zeigen eine explizitere, aber nicht direkt vergleichbare Charakterisierung, indem wir den bilinearen Fall auf den linearen Fall zurückführen und den Faktorisierungssatz auf lineare Operatoren anwenden.

In Kapitel 6 benutzen wir eine kleine Verfeinerung des multilinearen Maurey-Faktorisierungssatzes von Schep. Damit erhalten wir eine stetige und eine diskrete Charakterisierung starker bilinearer Abschätzungen. Diese Charakterisierungen zeigen die Äquivalenz der Beschränktheit des bilinearen Operators und einer dazugehörigen Bilinearform.

Im zweiten Teil der Arbeit, Kapitel 7, betrachten wir eine r-Variation-Verschärfung maximaler Abschätzungen für abgeschnittene Calderón-Zygmund-Operatoren. Wir folgern aus bekannten Lebesgueraum-Abschätzungen für diese Operatoren eine neue Abschätzung durch dünnbesetzte Operatoren, die wiederum gewichtete Abschätzungen impliziert.