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In dieser Dissertation werden quantenfeldtheoretische Modelle betrachtet, bei denen eine feste Anzahl Teilchen mit einem bosonischen Feld welchselwirkt. Die Teilchen sind dabei linear an das Feld gekoppelt. Das bedeutet, dass die Wechselwirkungsterme im Modell eine Summe aus Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind. Die Wechselwirkung zwischen den Teilchen, zum Beispiel Elektronen, und dem Feld stellt sich daher so dar, dass ein bosonisches Feldquant durch die Teilchen erzeugt und vernichtet werden kann, sobald beide sich treffen. Da elementare Teilchen punktförmig sind, führt dies zu Schwierigkeiten, die allgemein als UV-Problem bezeichnet werden. Hier wird eine neue Methode entwickelt, die es erlaubt, den Hamiltonoperator und seinen Definitionsbereich für eine Klasse dieser Modelle direkt hin zu schreiben. Die Methode ist insbesondere auf das in der Literatur häufig betrachtete Nelson-Modell anwendbar. Bisher war ein Renormierungsverfahren erforderlich, um einen selbstadjungierten Hamiltonoperator für dieses Modell zu konstruieren, und damit die Lösbarkeit der Schrödingergleichung für alle Zeiten zu garantieren. In einem Renormierungsverfahren wird der Operator als Grenzwert einer Operatorenfolge definiert. Für jedes der Folgenglieder ist die Wechselwirkung nicht punktförmig, sondern wird ad hoc regularisiert, indem die Teilchen als ausgedehnt betrachtet werden. Der Grenzwert dieser Folge wird als renormierter Operator bezeichnet. Der Definitionsbereich und die Wirkung der Operatoren lässt sich für die regularisierten Wechselwirkungen leicht angeben, für den Grenzwert gilt dies jedoch nicht. Erst im Jahr 2017 wurde von Marcel Griesemer und Andreas Wünsch eine von Edward Nelson bereits 1964 geäußerte Vermutung über den Definitionsbereich des renormierten Operators bestätigt. Über seine Wirkung auf Wellenfunktionen aus dem Definitionsbereich war weiterhin nichts bekannt. Wir geben hier erstmals eine direkte Beschreibung des Operators und seines Definitionsbereichs an. Außer auf das (massive) Nelson-Modell lässt sich die Methode auch auf das Fröhlich Polaron, das Nelson-Modell mit masselosen Bosonen, sowie auf relativistische Varianten des Modells anwenden. Es wird gezeigt, dass sich die Hamiltonoperatoren für derartige Modelle mittels so genannter interior-boundary conditions (IBC’s) definieren lassen. Das sind Bedingungen, die Wellenfunktionen erfüllen müssen, um im Definitionsbereich des Operators zu liegen. Dabei werden die Werte der Wellenfunktion von n Bosonen, mit einem der Bosonen in der Nähe eines Teilchens, in Beziehung gesetzt zu den Werten der Wellenfunktion ohne dieses eine Boson. Eine solche Bedingung führt im Allgemeinen zu einem singulären Verhalten der Wellenfunktionen an Punkten wo sich Bosonen und Teilchen treffen. Auf diesen singulären Funktionen wird anschließend die Wirkung des Hamiltonoperators direkt definiert, ohne Verwendung eines Renormierungsverfahrens. Allerdings ist es a posteriori möglich, den direkt definierten Hamiltonoperator mit dem renormierten Operator zu identifizieren. Wegen der spezifischen Form des Definitionsbereichs lässt sich auch Nelsons Vermutung leicht bestätigen. |
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