Numerical Analysis of the evolving surface finite element method for some parabolic problems

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der evolving surface finite element method (ESFEM), zu Deutsch, Finite-Elemente-Methode auf bewegten Oberflächen. Eines der vielen Einsatzgebiete der ESFEM ist das Nähern von Lösungen parabolischer partieller Differentialgleichungen auf bewegten Oberflächen. Solche Gleichungen spielen bei der Modellierung von Problemen der mathematischen Biologie eine Rolle. Beispielsweise kann das Wachstum eines Tumors auf diese Weise modelliert werden. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf der numerischen Analyse der ESFEM, angewandt auf parabolische Probleme. Es werden fünf verschiedene Problemstellungen betrachtet. \par Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut: Zu Beginn werden im Wesentlichen bekannte Ergebnisse zusammengefasst, auf die im Laufe der Arbeit verwiesen wird. Im nachfolgenden Kapitel werden die Problemstellungen, die in dieser Arbeit behandelt werden, vorgestellt. Für jedes Problem wird die partielle Differentialgleichung, die gewählte numerische Methode und das Endresultat angegeben. Nach diesen einleitenden Kapiteln folgt die ausführliche Betrachtung der Beweise der Theoreme. Alle wichtigen Techniken und Ideen werden vorgestellt und erläutert. Im Anschluss daran wird verdeutlicht, welche dieser Techniken und Ideen neu sind und bisher noch nicht bekannt waren. Zu jeder Problemstellung werden numerische Experimente vorgestellt. Im letzten Kapitel wird noch ein neues Resultat bewiesen, dass während der Entstehung dieser Dissertation entdeckt worden ist. Die vier bereits publizierte Forschungsresultate, sind im Anhang beigefügt.

The present work investigates the evolving surface finite element method (ESFEM). One of its many applications is to approximate the solution of a parabolic partial differential equation on an evolving surface. Such equations are of interest for mathematical biology. For example, the growth of a tumor can be modeled with such an equation. The main interest of this work is the numerical analysis of the ESFEM, applied on some parabolic problems. Five different problems are considered here. \par The structure of the work is as follows: The first chapter summarizes results, which are essentially already known in the literature. The subsequent chapter presents the investigated problems. The author explains for each problem the partial differential equation, the chosen numerical method and the final result. These introductory chapters are followed by a detailed summary and discussion of the proofs of the corresponding theorems. All important techniques and ideas are presented and explained. Afterwards, the author emphasizes the originality of the work. Every problem is concluded by some numerical experiments. In the last chapter the author proves a novel result, which has been discovered during the preparations of this thesis. The four already published results are provided in the appendix.