The Adiabatic Limit of the Connection Laplacian with Applications to Quantum Waveguides

Abstract

Im ersten Teil werden Schrödiger-Operatoren mit Dirichlet-Randbedingungen auf einem hermiteschen Vektorbündel über einer dünnen Mannigfaltigkeit untersucht. Der kinetische Anteil innerhalb des Operators besteht aus dem Zusammenhangs-Laplace-Operator bezüglich eines metrischen Zusammenhangs auf dem Vektorbündel. Die Eigenschaft der Basismannigfaltigkeit dünn zu sein wird dadurch modelliert, dass man sie selbst mit der Struktur eines Faserbündels ausstattet und seine kompakten Fasern (vertikale Richtungen) klein skaliert im Vergleich zu den orthogonalen (horizontalen) Richtungen. Eine dünne Röhre ist ein typisches Beispiel für solch eine dünne Mannigfaltigkeit. Es wird nun aufgezeigt, wie man eine Komplexitätsreduktion für den Schrödinger-Operator durchführen kann, indem man ausnutzt, dass der Einfluss der vergleichsweise kleinen vertikalen Richtungen vernachlässigt werden kann. Genauer gesagt wird die Herleitung eines effektiven Operators erläutert, welcher lediglich auf einem Vektorbündel über den horizontalen Richtungen wirkt und wesentliche Eigenschaften des vollen Operators wie die erzeugte Dynamik oder das Spektrum approximiert.

Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Anwendung der abstrakten Resultate auf Quantenwellenleiter in Anwesenheit von Magnetfeldern. Unter Quantenwellenleitern versteht man die Analyse von Laplace-Operatoren in dünnen Tubenumgebungen um Untermannigfaltigkeiten eines höherdimensionalen euklidischen Raums. Die Zulassung von beliebigen metrischen Zusammenhängen im abstrakten Teil erlaubt es uns nun, beliebige magnetische Potentiale minimal an das Teilchen zu koppeln. Darüber hinaus können dank der zusätzlichen Vektorbündelstruktur auch Spin behaftete Teilchen untersucht werden. Schließlich werden für einige geometrische Konfigurationen effektive Operatoren für die Fälle von schwachen und starken Magnetfeldern hergeleitet.