Construction of constant mean curvature tori in R^3 of arbitrary spectral genus via Whitham flows

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt eine Deformation von Spektralkurven von Flächen konstanter mittlerer Krümmung (Constant mean curvature - CMC) in R^3. Zuerst werden die grundlegenden Fakten über konforme Immersionen von Flächen und insbesondere von CMC Tori nach R^3 zusammengetragen. Es wird ein Bezug zwischen CMC Tori und doppelt periodischen Lösungen der sinh-Gordon Gleichung aufgezeigt. Darauf aufbauend wird eine Riemannsche Fläche, die Spektralkurve de-finiert und die Theorie der Spektralkurven für die doppelt periodische Lösungen der sinh-Gordon Gleichung vorgestellt. Das Geschlecht g dieser Spektralkurve heißt Spektralgeschlecht. Es werden die extrinsischen Schließungsbedingungen erklärt, die nötig sind, um eine Immersion zu einem Torus in R^3 zu schließen. Ausgehend von den Spektralkurven wird die Theorie der Withamdeformationen entwickelt, die die Spektralkurven so deformiert, dass die intrinsischen Schließungsbedingungen erhalten werden, d.h. die Spektralkurve weiterhin eine Spektralkurve einer doppelt periodischen Lösung der sinh-Gordon Gleichung bleibt. Die Deformation wird weiterhin um die extrinsischen Schließungsbedingungen ergänzt. Diese Deformation erzeugt ausgehend von einer Spektralkurve eines CMC Torus in R^3 eine Familie von CMC Zylindern mit doppelt periodischer Metrik. Weiterhin schließen sich diese Zylinder zu CMC Tori auf einer abzählbar dichten Teilmenge des Existenzintervalls der Deformation. Die Withamdeformation wird nun benutzt, um Spektralkurven von CMC Zylindern mit möglichen Doppelpunkten zu finden. Diese Spektralkurven werden für eine Bifurkation von Spektralgeschlecht g zu g+1 benutzt. Da die Withamdeformation am Bifurkationspunkt singulär ist, wird eine Prozedur zur Desingularisierung vorgestellt. Dabei wird zuerst eine Potenzreihenentwicklung einer möglichen Lösung konstruiert und ihre Eindeutigkeit bewiesen. Im zweiten Schritt wird die Konvergenz einer derartigen Lösung gezeigt. Auf diese Weise ist eine Bifurkation der Withamdeformation in ein höheres Spektralgeschlecht möglich, die die Schließungsbedingungen erhält. Es wird wieder eine Familie von CMC Zylindern mit doppelt periodischer Metrik erzeugt. Auch hier schließen sich diese Zylinder zu CMC Tori auf einer dichten Teilmenge des Existenzintervalls, nun mit Spektralgeschlecht g+1. Diese Desingularisierung wird benutzt, um einen bekannten Satz über die Existenz von Tori mit beliebig hohem Spektralgeschlecht neu zu beweisen. Da der Beweis mittels einer Deformation erbracht wird, ist es möglich eine Familie von CMC Zylindern explizit zu konstruieren, die einen bekannten Torus wie den Wente Torus mit einem neuen Torus von beliebig hohem Spektralgeschlecht verbindet.