On Weiss-Staffans Perturbations of Semigroup Generators

Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir folgende Frage: Gegeben der Generator $(A,D(A))$ einer $C_0$-Halbgruppe $(T(t))_{t≥0}$ auf einem Banachraum $X$, für welche Operatoren $P$ auf $X$ ist dann die Summe $A_P = A + P$ wieder ein Generator? Viele Ergebnisse sind dazu bekannt, aber es gibt noch keine allgemeine, viele Spezialfälle umfassende Theorie. Um die Summe $A_P$ in vernünftiger Weise zu definieren, brauchen wir zunächst Voraussetzungen an den Operator $(P,D(P))$. Wir nehmen an, dass $P$ auf dem zu $A$ gehörigen Sobolevturm wirkt und definieren dann $A_P = (A_{−1}+P)|_X$, wobei $A_{−1}$ der Generator der extrapolierten Halbgruppe ist. Dies deckt drei bekannte Situationen ab: Beschränkte Störungen, Desch-Schappacher Störungen und Miyadera-Voigt Störungen. In Arbeiten über Wohlgestelltheit von linearen Kontrollsystemen mit Feedback haben Weiss und Staffans ein allgemeineres Ergebnis zu dieser Problematik dargestellt. Hier bearbeiten und verallgemeinern wir den Weiss-Staffans Ansatz, indem wir das Ergebnis in einer rein operatortheoretischen Perspektive diskutieren. Die Ergebnisse werden durch konkrete Beispiele dargestellt.