Algorithms for Mori Dream Spaces

Abstract

Mori dream spaces are algebraic varieties with finitely generated Cox ring; basic examples are toric varieties or rational varieties with a torus action of complexity one. Due to the finite generation of the Cox ring, Mori dream spaces allow an explicit approach in terms of commutative algebra and polyhedral combinatorics. Based on this approach we develop a series of algorithms to explore the geometry of Mori dream spaces. We first present a toolkit for basic computations with Mori dream spaces, e.g., determining the Picard group, cones of divisor classes, the canonical toric ambient variety, singularities or a test for being factorial. Specialized algorithms are presented for the case of complete intersection Cox rings or varieties with a torus action of complexity one, e.g., the computation of intersection numbers, the test for the Fano or Gorenstein properties, roots of the automorphism group, resolution of singularities. We apply these algorithms to explore and classify certain (combinatorially) minimal singular del Pezzo k*-surfaces of Picard rank two. As a first advanced algorithm, we show how to compute the Mori chamber decomposition and the GIT-fan of a torus action on an affine variety. A second series of advanced algorithms concerns the problem of the behavior of the Cox ring under modifications, e.g., of blow ups. We develop algorithms to verify finite generation, verify a guess of generators, systematically produce generators and to determine the ideal of relations of the Cox ring of the modified variety. This includes an algorithm to compute Cox rings of blow ups of Mori dream spaces that terminates if and only if the new variety is a Mori dream space. As applications, we determine the Cox rings of certain blow ups of the three-dimensional projective space and of the Gorenstein log-terminal del Pezzo surfaces of Picard number one without a non-trival k*-action. As further application, we determine the Cox rings of the smooth rational surfaces of Picard number at most six; for Picard number six, we restrict ourselves to the cases without a non-trival k*-action whereas the classification is complete for Picard number up to five.

Mori-Dream-Spaces sind algebraische Varietäten mit endlich erzeugtem Coxring, etwa torische Varietäten oder rationale Varietäten mit einer Toruswirkung der Komplexität eins. Aufgrund des endlichen Erzeugendensystems für den Coxring können Mori-Dream-Spaces durch Methoden der kommutativen Algebra und polyedrischen Kombinatorik behandelt werden. Aufbauend auf dieser Beschreibung entwickeln wir eine Reihe an Algorithmen zur Untersuchung der Geometrie von Mori-Dream-Spaces. Zunächst präsentieren wir Werkzeuge, um grundlegende Berechnungen mit Mori-Dream-Spaces durchführen zu können, z.B. das Bestimmen der Picardgruppe, Kegel von Divisorenklassen, kanonische torische ambiente Varietät, Singularitäten oder der Test auf Faktorialität. Spezialisierte Algorithmen werden für Varietäten, deren Coxring ein vollständigen Durchschnitt ist, oder für Varietäten mit einer Toruswirkung der Komplexität eins vorgestellt, etwa das Berechnen von Schnittzahlen, das Testen auf die Fano- oder Gorenstein-Eigenschaft, das Berechnen von Wurzeln der Automorphismengruppe oder das Auflösen von Singularitäten. Als Anwendung unserer Algorithmen untersuchen und klassifizieren wir gewisse (kombinatorisch) minimale del-Pezzo k*-Flächen mit Picardzahl zwei. Als ersten fortgeschrittenen Algorithmus zeigen wir, wie man die Mori-Kammerzerlegung eines Mori-Dream-Spaces und den GIT-Fächer von Toruswirkungen auf affinen Varietäten berechnet. Eine zweite Reihe an fortgeschritten Algorithmen beschäftigt sich mit der Auswirkung von Modifikationen, etwa von Aufblasungen, auf Coxringe. Wir entwickeln Algorithmen, um zu verifizieren, dass der Coxring der modifizierten Varietät endlich erzeugt ist, um geratene Erzeuger zu verifizieren, um systematisch Erzeuger zu produzieren und um Relationen zu berechnen. Dies beinhaltet einen Algorithmus zur Berechnung von Coxringen von Aufblasungen eines Mori-Dream-Spaces, der genau dann terminiert, wenn der Coxring der Aufblasung endlich erzeugt ist. Als Anwendungen bestimmen wir die Coxringe gewisser Aufblasungen des drei-dimensionalen projektiven Raumes und von Gorenstein log-terminalen del-Pezzo-Flächen mit Picardzahl eins ohne nicht-triviale k*-Wirkung. Als weitere Anwendung bestimmen wir die Coxringe der glatten, rationalen Flächen, deren Picardzahl höchstens sechs ist; für Picardzahl sechs beschränken wir uns auf die Fälle ohne nicht-triviale k*-Wirkung, bis zu Picardzahl fünf ist die Klassifikation vollständig.