Quotients of Mori Dream Spaces

Abstract

The term Mori Dream Space was coined by Hu and Keel. They had in mind varieties whose cone of effective divisors possesses a decomposition which is optimal in the sense of Mori theory. They showed that this is equivalent to finite generation of the Cox ring. We consider the action of an affine-algebraic group G on such a Mori Dream Space X and ask for properties of possible quotients. As a first result we obtain that good quotients of open subsets inherit the Mori Dream property from the variety X. Mumford was the first to construct such open subsets systematically by the use of linearised line bundles. In general however, there is no canonical choice for such a bundle. Hence one considers the GIT limit, i.e. the inverse limit over all Mumford quotients. As opposed to good quotients the GIT limit is not necessarily a Mori Dream Space again, which was shown by Castravet and Tevelev. For K*-actions on smooth projective quadrics we present a positive result. Moreover, we consider point configurations on the projective line and the equivalence classes up to the action of the unipotent group K. We show how they emerge as GIT limit and discuss how the limit can be obtained in a sequence of blow-ups similar to Kapranovs constructions for the Grothendieck-Knudsen moduli space.

Der Begriff Mori Dream Space wurde von Hu und Keel für Varietäten eingeführt, deren Effektivkegel eine im Sinne der Mori-Theorie bestmögliche Zerlegung besitzt. Sie haben gezeigt, dass sich dies über die endliche Erzeugbarkeit des Cox-Rings der Varietät charakterisieren lässt. Wir betrachten die Wirkung einer algebraischen Gruppe G auf einem solchen Mori Dream Space X und interessieren uns für mögliche Quotienten. Als erstes Resultat erhalten wir, dass die guten Quotienten offener Mengen die Mori-Dream-Eigenschaft von X erben. Mumford konstruierte solche offenen Mengen mit guten Quotienten mithilfe linearisierter Geradenbündel. Es gibt im Allgemeinen jedoch keine kanonische Wahl für ein solches Bündel, daher betrachtet man den GIT-Limes, d.h. den Limes aller Mumford-Quotienten. Die zum obigen Resultat analoge Aussage für den GIT-Limes ist jedoch falsch, wie Castravet und Tevelev erst kürzlich gezeigt haben. Für K*-Wirkungen auf Quadriken stellen wir ein positives Ergebnis vor. Weiter betrachten wir Punktekonfigurationen auf der projektiven Geraden und Äquivalenzklassen bzgl. der Wirkung der unipotenten Gruppe K. Wir stellen diese als GIT-Limes dar und diskutieren wie der Limes analog zu einem Resultat von Kapranov in einer Sequenz von Aufblasungen entsteht.