Combinatorial description of normal toric schemes over valuation rings of rank one

Abstract

Normal toric varieties over a field can be described by combinatorial data, so called rational fans. Mumford did extend this description to normal toric schemes of finite type defined over a discrete valuation ring. We present a generalization of these results for normal toric schemes of finite type defined over a non-necessarily discrete valuation ring of rank one. We start with the affine case by giving a classification in terms of some admissible cones. For the non-affine case the main step is to generalize Sumihiro's theorem for normal toric varieties to this context. Since our schemes are non-noetherian in general, this is done by applying intersection theory with divisors on admissible formal schemes over rank one valuation rings. Finally, using the orbit-cone correspondence for toric varieties over a valuation ring, proved by Gubler, we get that the set of isomorphism classes of normal toric schemes of finite type over a valuation ring is in bijection with the set of fans whose cones are those obtained in the affine case.

Normale torische Varietäten über einem Körper können durch kombinatorische Daten beschreiben werden, die man rationale Fächer nennt. Mumford erweiterte diese Beschreibung auf normale torische Schemata von endlichen Typ, welche über einen diskreten Bewertungsring definiert sind. Wir präsentieren eine Verallgemeinerung dieser Resultate auf normale torische Schemata von endlichen Typ, welche über einen nicht notwendig diskreten Bewertungsring von Rang eins definiert sind. Wir beginnen mit dem affinen Fall indem wir eine Klassifikation in Form von zulässigen Kegeln aufgeben. Im nichtaffinen Fall ist der wichtigste Schritt das Theorem von Sumihiro für normale torische Varietäten in unserem Zusammenhang zu verallgemeinern. Da unsere Schemata im Allgemeinen nichtnoethersch sind, wird dies durch Anwendung der Schnitttheorie von Divisoren auf zulässigen formalen Schemata über einem Bewertungsring von Rang eins bewiesen. Schließlich, durch ausnutzen der Bahn-Kegel-Beziehung torische Varietäten über einem Bewertungsring, die von Gubler bewiesen wurde, erhalten wir, dass die Menge der Isomorphieklassen normaler torischer Schemata von endlichen Typ über einem Bewertungsring in Bijektion mit der Menge der Fächer, deren Kegel gerade diese sind, welche wir im affinen Fall erhalten haben, steht.