Effective Hamiltonians for magnetic Bloch bands

Abstract

We consider the one-particle Schrödinger operator with a periodic potential, a strong constant magnetic field, and non-periodic perturbations in two dimensions. Our goal is a rigorous derivation of a simpler effective operator that approxiamtes the original operator in a suitable way using space-adiabatic perturbation theory. This operator is called effective Hamiltonian. Thereto, we first construct an almost invariant subspace belonging to a magnetic Bloch band. This can be adopted from the known case without constant magentic field up to minor technical modifications. Restricted to this subspace, we get an operator acting on sections of a non-trivial line bundle called Bloch bundle. In the non-magnetic case, the Bloch bundle is always trivial and hence the operator can be viewed as an operator between function spaces. To construct a unitary mapping onto an explicitly given reference Hilbert space, we need to take into account the non-trivial geometry of the bundle. Therefore we define new Weyl quantisations that generate operators between sections of non-trivial line bundles. The result is the Peierls substitution that is known from physics. Its validity for magnetic Bloch bands was an open question (also in physics).

Es wird der Einteilchen-Schrödinger-Operator mit einem periodischen Potential, einem starken, konstanten Magnetfeld und nicht-periodischen Störungen in zwei Dimensionen betrachtet. Das Ziel ist die mathematisch rigorose Herleitung eines einfacheren, effektiven Operators mittels raumadiabatischer Störungstheorie, der den ursprünglichen Operator in geeigneter Weise approximiert. Dieser wird effek- tiver Hamilton-Operator genannt. Dazu wird im ersten Schritt zu einem magnetis- chen Blochband ein zugehöriger fast invarianter Unterraum konstruiert. Dies kann bis auf kleine technische Änderungen aus dem bekannten Fall ohne konstantes Magnetfeld übertragen werden. Eingeschränkt auf diesen Unterraum ergibt sich ein Operator, der auf Schnitten eines nichttrivialen Linienbündels, des sogenannten Blochbündels, operiert. Im nichtmagnetischen Fall ist das Blochbündel stets trivial und der Operator konnte als Operator zwischen Funktionenräumen betrachtet werden. Um nun im zweiten Schritt eine unitäre Abbildung auf einen explizit gegeben Refernenzhilbertraum zu konstruieren, muss die nichttriviale Geometrie des Bündels einbezogen werden. Dazu werden neue Weyl-Quantisierungen definiert, die Operatoren zwischen Schnitten nichttrivialer Bündel erzeugen. Als Ergebnis wird die aus der Physik bekannte Peierls Substitution gezeigt, deren Gültigkeit für magnetische Blochbänder eine (auch in der Physik) offene Frage war.