Erste Chernform und Chambert-Loir Maße auf dem Quadrat einer Tate-Kurve

Abstract

In der komplexen Analysis lässt sich für ein metrisiertes Geradenbündel (L,|.|) auf einer komplexen Mannigfaltigkeit X der Dimension d eine erste Chernform c_1(L,|.|) definieren. Letztere ist eine (1,1)-Form und das d-fache Produkt liefert uns eine Differentialform c_1(L,|.|)^d vom Typ (d,d) auf X. Solch eine Form können wir nun über X integrieren und wir erhalten damit ein Maß auf X. Hier ist die Poincaré-Lelong Gleichung eine wichtige Formel. Diese besagt, dass für jeden globalen meromorphen Schnitt s von L die auf X gegebene Distribution g := -log ||s||^2 die Differentialgleichung dd^c g = c_1(L,|.|) – delta_div(s) erfüllt, wobei delta_div(s) das Dirac-Strom im Divisor von s ist. In der nicht-archimedischen Analysis war diese Betrachtung nicht möglich: Gegeben seien Geradenbündel L_1,...,L_d auf einer projektiven Varietät X der Dimension d und wir wählen dazu Modelle über einem gegebenen vollständigen diskreten Bewertungsring. Die Wahl der Modelle induziert jeweils eine Metrik |.|_i auf L_i (i = 1,...,d), die man Modellmetrik nennt. Für die erste Chernform von (L_i,|.|_i) war noch kein nicht-archimedisches Analogon bekannt. Wir können jedoch zu X den Berkovich analytischen Raum X^an bestimmen, der dieselbe Rolle für eine nicht-archimedische Stelle spielt wie die komplexen Mannigfaltigkeiten an der unendlichen Stelle. Dann hat Chambert-Loir gezeigt, dass es ein Maß c_1(L_1,|.|_1)^...^c_1(L_d,|.|_d) auf X^an gibt, das analog zum Maß c_1(L,|.|)^d auf der komplexen Mannigfaltigkeit ist. Dabei kommt die Analogie zu den Formen der Differentialgeometrie aus der Arakelov-Geometrie. Diese Maße fanden interessante Anwendungen bei der Äquidistribution arithmetischer dynamischer Systeme und bei der geometrischen Bogomolov-Vermutung aus der diophantischen Geometrie. Für ein nicht-archimedisches Analogon der Poincaré-Lelong Gleichung fehlte auch noch ein Ersatz für den Differentialoperator dd^c. Im Fall einer Kurve haben Chinburg-Rumely und Zhang durch Analysis auf dem Reduktionsgraphen eine entsprechende Analogie zur Poincaré-Lelong Gleichung gefunden. Die vorliegende Arbeit ist eine Fallstudie für die Definition der ersten Chernform auf dem Quadrat einer Tate-Kurve. Die Definition beruht auf Ideen aus der tropischen Geometrie. Es werden verschiedene Eigenschaften der ersten Chernform anhand von Beispielen herausgearbeitet. Insbesondere wird gezeigt, dass die topdimensionale Wedge-Potenz der ersten Chernform das entsprechende Chambert-Loir Maß ergibt und dass die Poincaré-Lelong Gleichung gilt.

In complex analysis, a first Chernform c_1(L,|.|) can be defined for a metrized line bundle (L,|.|) on a complex manifold X of dimension d . The first Chernform is a (1,1)-form and the d-fold product gives us a differential form c_1(L,|.|)^d of type (d,d) on X. We can now integrate such a form over X and thus, obtain a measure on X. In this context the Poincaré-Lelong equation is an important formula. This means that for each global meromorphic section s of L the given distribution g: =-log||s||^2 on X satisfied the differential equation dd^c g = c_1(L,|.|) - delta_div(s), wherein delta_div(s) is the dirac current in the divisor to s. In the non-archimedean analysis, this observation was not possible: If line bundles L_1,...,L_d on a projective variety X of dimension d are given, and we choose, for every line bundle, a model over a given complete discrete valuation ring. The choice of these models induced a metric |.| _i on L_i (i=1,...,d) and we call this metric ‘model metric’. So far, no non-archimedean analogue for the first chernform of (L_i,|.|_i) is known. However, for X we can determine the Berkovich analytic space X^an, which plays the same role for a non-archimedean place as the complex manifold does for the infinite place. Moreover, Chambert-Loir has shown that c_1(L_1,|.| _1)^...^c_1(L_d,|.|_d) is a measure on X^an, analoguous to the measure c_1(L,|.|)^d on the complex manifold. In addition, we have the analogy of the form in the differential geometry taken from the Arakelov geometry. These measures provided for interesting applications in the equidistribution of arithmetic dynamical systems and in the geometric Bogomolov conjecture from diophantine geometry. A substitute for the differential operator dd^c for a non-archimedean analogue of the Poincaré-Lelong equation also was missing. In the case of a curve, Chinburg-Rumely and Zhang have used analysis on the reduction graph for an analogy to the Poincaré-Lelong equation. This paper is a case study for the definition of the first chernform on the square of a Tate curve. The definition is based on ideas from tropical geometry. Various properties of the first chernform are contextualized in examples. In particular, it is shown that the topdimensiol wedge-power of the first chernform gives the corresponding Chambert-Loir measure and that the Poincaré-Lelong equation is true.