Algebraic Curvature Operators and the Ricci Vector Field

Abstract

In addition to a systematic, broad-based introduction to the field of algebraic curvature operators and the Sharp-product, this text provides a large number of new (algebraic) results, which can be seen in the context of the dynamics of Ricci flow on manifolds. For example, it is shown that the first Bianchi identity follows from the Böhm-Wilking identity. Moreover, the irreducible decomposition of the Ricci vector field is computed. Further, the text is concerned with the dynamics of the vector field Ricci on the space of algebraic curvature operators and a splitting theorem for equilibrium positions of the normalized Ricci vector field is proved.

Neben einer systematischen, breit angelegten Einführung in das Gebiet der algebraischen Krümmugsoperatoren und des Sharp-Produkts bietet dieser Text eine Fülle von neuen (algebraischen) Einzelergebnissen, die im Zusammenhang mit der Dynamik des Ricciflusses auf Mannigfaltigkeiten gesehen werden können. Zum Beispiel wird gezeigt, dass die Erste Bianchi-Identität aus der Böhm-Wilking Identität folgt. Außerdem wird die irreduzible Zerlegung des Ricci Vektorfeldes berechnet. Frener wird auf die Dynamik des Ricci-Vektorfeldes auf dem Raum der algebraischen Krümmungsoperatoren eingegangen und ein Spaltungssatz für Gleichgewichtslagen des normalisierten Ricci-Vektorfeldes bewiesen.