The Quark Sector of the QCD Ground State in Coulomb Gauge

Abstract

This thesis is divided into two parts concerning the two unresolved issues of QCD. In Part I we investigate chiral symmetry breaking. We concentrate on the fermionic content of the QCD Lagrangian, since chiral symmetry is a property of the quark sector. In Part II we turn to the issue of color confinement and compute the potential between a pair of infinitely heavy quarks from the so-called Wilson loop. Here we deal with pure gluodynamics, since color confinement is encoded in the gluon sector of QCD. The first part of the thesis concerns the inclusion of dynamical quarks into the variational approach to QCD in Coulomb gauge. It has been known for thirty years that an ansatz for the quark vacuum wave functional mimicking BCS theory, although successful on a qualitative level, is not sufficient to generate the right amount of dynamical chiral symmetry breaking to account for the dynamical nucleon mass - the value of the chiral condensate is by a factor of two too low. We identify the missing piece as the coupling of the quarks to the transverse gluons. We generalize the BCS-ansatz and include the coupling of the quarks to the transverse gauge field into the quark vacuum wave functional. We find this coupling to increase the chiral condensate substantially and to bring the dynamical mass into the region of experiment.

In Part II we turn to a method to approach the Wilson loop in a continuum formulation which has been suggested years ago for supersymmetric theories and has recently been applied to QCD in Landau gauge. All planar ladder diagrams connecting the two temporal paths of the Wilson loop are summed to give a Dyson equation, which, at least in an approximate fashion, accounts for path ordering.

This Dyson equation is critically reviewed, its range of applicability in non-supersymmetric gauge theories discussed and applied to Coulomb gauge gluon propagators. We compute the Wilson loop for the temporal gluon propagator as well as the spatial gluon propagator. We find for the spatial Wilson loop results which are qualitatively, but not quantitatively, significant. We find a static quark potential which shows both a Coulombic as well as a confining region; however, the string tension extracted from the slope of the linear potential is too large compared to the string tension obtained in lattice QCD.

Diese Doktorarbeit ist in zwei Teile aufgespaltet, die sich jeweils mit den beiden ungelösten Hauptfragen der QCD beschäftigt. Im ersten Teil untersuchen wir chirale Symmetriebrechung. Wir konzentrieren uns auf den fermionischen Anteil der QCD-Lagrange-funktion, da die chirale Symmetrie eine Eigenschaft des Quarksektors ist. Im zweiten Teil wenden wir uns dem Problem des Farbeinschlusses zu und berechnen das Potential zwischen einem Paar unendlich schwerer Quarks aus dem sogenannten Wilsonloop. Hier befassen wir uns mit der reinen Gluodynamik, da der Farbeinschluss im gluonischen Sektor der QCD verschlüsselt ist.

Der erste Teil dieser Doktorarbeit behandelt die Einbeziehung dynamischer Fermionen in den Variationszugang zur QCD in Coulomb-Eichung. Es ist seit dreißig Jahren bekannt, dass ein Ansatz für das Quark-Vakuumwellenfunktional, der die BCS-Theorie imitiert, obwohl auf einem qualitativen Level erfolgreich, nicht ausreicht, um das richtige Maß an dynamischer chiraler Symmetriebrechung zu generieren, das für die dynamische Nukleonmasse benötigt wird - der Wert des chiralen Kondensates ist um einen Faktor zwei zu klein. Wir identifizieren den fehlenden Teil als die Kopplung der Quarks zu den transversalen Gluonen. Wir verallgemeinern den BCS-Ansatz und schließen die Kopplung der Quarks zum transversalen Eichfeld in das Quark-Wellenfunktional ein. Wir finden heraus, dass diese Kopplung das chirale Kondensat wesentlich erhöht und die dynamische Masse in den Bereich der experimentellen Daten bringt.

In Teil II der Arbeit wenden wir uns einer Methode zu, sich dem Wilsonloop in einer Kontinuumsformulierung zu nähern, die vor einigen Jahren für supersymmetrische Yang-Mills-Theorien vorgeschlagen und kürzlich auf die QCD in Landau-Eichung angewandt wurde. Alle planaren Leiterdiagramme, die zwei temporale Pfade des Wilsonloops verbinden, werden zu einer Dysongleichung summiert, die zumindest näherungsweise die Pfadordnung beinhaltet.

Die Dysongleichung wird kritisch überprüft, ihr Anwendungsbereich für nicht-supersymmetrische Theorien diskutiert, und auf Gluonpropagatoren in Coulomb-Eichung angewandt. Wir berechnen den Wilsonloop für den temporalen, sowie den räumlichen Gluonpropagator. Wir erkennen, dass die Ergebnisse für den räumlichen Wilsonloop qualitativ, aber nicht quantitativ aussagekräftig sind. Wir bekommen ein statisches Quarkpotential, das sowohl einen Coulombschen als auch eine farbeinschließenden Bereich aufweist; allerdings ist die Stringspannung, die man aus dem Anstieg des linearen Potentials extrahiert, zu groß verglichen mit der Stringspannung, die aus der Gitter-QCD bekannt ist.