Localization, Diffusivity and Transience in Random Media

Abstract

The present dissertation is concerned with phenomena in the field of Random Walk in Random Environment (RWRE) and Branching Random Walks in Random Environment (BRWRE).

RWRE models the movement of a particle, the randomness of which depends on the transition probabilities given at its present position. These transition probabilities are random themselves, and fixed before the start of the particle. An interesting question here is whether the projection of the particles position on a one-dimensional subspace is recurrent or transient, and if transient, in which direction. Under which hypotheses is it possible that the particle goes sometimes to the left, and sometimes to the right?

BRWRE is a model for a population of mobile, reproducing particles, the offspring distribution of which depends on the time and place of their birth. In this model, there is a phase transition between the regular growth phase and the slow growth phase. In the regular growth phase, the population spreads out according to a normal distribution, while in the slow growth phase, localization occurs.

Die vorliegende Dissertation befaßt sich mit der Asymptotik der beiden Modelle "Random Walk in Random Environment" (RWRE) und "Branching Random Walks in Random Environment" (BRWRE), was mit "Irrfahrt in zufälliger Umgebung" und "Verzweigende Irrfahrten in zufälliger Umgebung" übersetzt werden kann.

Beim RWRE wird die Bewegung eines Teilchens modelliert, dessen zufällige Bewegung von der am jeweiligen Ort gegebenen Übergangswahrscheinlichkeit abhängt. Diese ist zufällig und wird vor dem Start des Teilchens festgelegt. Eine interessante Frage in diesem Modell ist, ob die Projektion des Ortes des Teilchens auf einen eindimensionalen Unterraum rekurrent oder transient ist, und falls transient, in welche Richtung. Ist es möglich oder unmöglich, daß das Teilchen manchmal nach rechts verschwindet und manchmal nach links? Unter welchen Voraussetzungen?

BRWRE ist ein Modell für eine Population von mobilen, reproduzierenden Teilchen, deren Nachkommenanzahl vom Ort und von der Zeit ihrer Geburt beeinflußt wird. Die Bewegung der Teilchen ist von der Nachkommenentstehung unabhängig und entspricht der einer einfachen Irrfahrt. In diesem Modell gibt es einen Phasenübergang zwischen der "regular growth phase" (Phase regulären Wachstums) und der "slow growth phase" (Phase langsamen Wachstums). Der Begriff "Phase" ist hier zu verstehen als Bereich von Parametern, in dem bestimmte Eigenschaften vorherrschen. Dies kommt der Verwendung im thermodynamischen Kontext nahe. In der regular growth phase wächst die Gesamtpopulation ähnlich schnell wie ihr Erwartungswert, während sie in der slow growth phase langsamer wächst.

Drei Artikel bilden den Hauptteil der vorliegenden Arbeit. Die ersten beiden betreffen BRWRE, der letzte RWRE. Der erste Artikel befaßt sich mit der Entwicklung der Teilchenverteilung in der slow groth phase und beweist ein immer wiederkehrendes Zusammenballen der Teilchen, während im zweiten Artikel in der regular growth phase ein zentraler Grenzwertsatz für die Teilchenverteilung bewiesen wird. Im dritten Artikel wird ein zweidimensionales Beispiel eines random environment konstruiert, das die Eigenschaft hat, daß die darauf laufende Irrfahrt mit nichttrivialer (nicht null oder eins) Wahrscheinlichkeit in positive Richtung transient ist. Die konstruierte Umgebung ist stationär und ergodisch, aber nicht i.i.d.; in der Tat ist bekannt, daß im i.i.d.-Fall ein solches Verhalten nicht auftreten kann.