Rheologie von granularer Materie und Ferrofluiden

Abstract

Der Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Anwendung bestehender hydrodynamischer Theorien auf das Fließverhalten granularer Materie und von Ferrofluiden. Wir leiten dazu die notwendigen Gleichungen ab und lösen diese zu verschiedenen Versuchsgeometrien und Randbedingungen. Ziel ist es verschiedene beobachtete Effekte mindestens qualitativ beschreiben zu können um die Güte der verwendeten Theorien herauszuarbeiten.

Der erste Teil der Arbeit ist den Granulaten gewidmet. Zu Beginn von Kapitel drei geben wir eine kurze Einführung in die allgemeinen Eigenschaften dieser Materialklasse. Danach stellen wir die hydrodynamische Theorie vor, die wir in den nachfolgenden Kapiteln anwenden werden. Im Wesentlichen beruht diese auf einer transienten Elastizität und einer mesoskopisches, granularen Temperatur. Die Transienz der Elastizität ist ein wesentliches Merkmal, da (trockene) Granulate bei Anregung die Tendenz haben können, mechanisch instabil zu werden. Die granulare Temperatur ist dabei ein Maß für die Energie der ungerichteten, zufälligen Bewegungen der Körner des Granulats untereinander.

Den ersten beobachteten Effekt werden wir in Kapitel vier besprechen. Es handelt sich hierbei um die Beobachtung einer perfekten Plastizität, solange die Verformungen, die am System geleistet werden, relativ klein sind. Im Wesentlichen heißt das, dass die gemessene Scherspannung unabhängig von der gewählten Rate der äußeren Anregung ist. Wir sind hierbei interessiert diesen Effekt qualitativ aufzuzeigen und wählen dazu eine einfache Schergeometrie. Es folgt eine Betrachtung eines stationären Systems und lösen die Gleichungen für die elastischen Verzerrungen und beziehen die granularen Temperatur in die Betrachtung mit ein. Für den Spannungstensor bedeutet dies, dass man eine Lösung erhält, die unabhängig von den Raten der Anregung ist.

Nun werden Granulate auch stärkeren Verformungen, bzw. Anregungen ausgesetzt sein und die granulare Temperatur wird dabei eine zentralere Rolle einnehmen. In Kapitel fünf werden wir diesen Bereich der granularen Phänomene besprechen. Solche starken Anregungen führen zu völlig anderem Verhalten der gemessenen Spannungen. Je nach experimentellem Aufbau und Randbedingung, verhalten sich die Messkurven unterschiedlich. Meist wird das Verhalten der Scherspannung in Abhängigkeit der Rate einer Scherverformung diskutiert. Das Spektrum reicht dabei von einer quadratischen bis zu einem nahezu Verschwinden der Abhängigkeit von der Rate. Wir lösen im Laufe dieses Kapitels die Bewegungsgleichungen für verschiedene Versuchsgeometrien, wobei wir sukzessive Gravitation und eine freie Oberfläche mit in die Diskussion einbeziehen werden.

Nachdem langsame und schnelle Verformungen besprochen wurden, wird in Kapitel sechs der sogenannte Zwischenbereich betrachtet. Für relativ kleine Verformungen haben wir ein perfekt plastisches System und für große Verformungen ein System, das in gewisser Weiße von der Rate der Verformung abhängt. Es zeigt sich, dass der Übergang nicht zwingend monoton sein muss, d. h. es lässt sich eine „Einbuchtung“, also ein Minimum in der berechneten Spannung beobachten.

Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit Ferrofluiden, d. h. stark magnetisierbaren Flüssigkeiten. Wir geben wieder mit Kapitel sieben eine kurze Einführung in Aufbau und Phänomenologie der Ferrofluide. Ganz analog zu den Granulaten soll wiederum eine hydrodynamische Theorie verwendet werden. Die hydrodynamische Beschreibung muss dabei um die elektromagnetischen Felder ergänzt werden. Die Magnetisierung zeigt sich als eigenständige makroskopische Größe, die das Aufstellen einer unabhängigen Bewegungsgleichung notwendig macht.

Für ein Ferrofluid zeigten sich erstaunliche Effekte unter dem Einfluss äußerer Magnetfelder. Wir diskutieren in Kapitel acht die Möglichkeit eine Strukturviskosität oder auch Scherverdünnung genannt. Es zeigt sich im Rahmen dieses Kapitels, dass die Mitnahme der Magnetisierung diesen Effekt beschreiben kann. Es werden zwei verschiedene Feldkonstellationen in einfacher Schergeometrie berechnet und der Scherverdünnungseffekt nachvollzogen. Der Zusammenhang zwischen Magnetisierung und den übrigen magnetischen Feldern im Gleichgewicht wird dabei nicht wie üblich linear angesetzt. Stattdessen wird dafür die Langevin-Funktion gewählt.

In Kapitel neun diskutieren wir das Ausbilden einer elastischen Scherwelle in einem Ferrofuid. Dazu lösen wir den relevanten Teil des hydrodynamischen Modenspektrums und erhalten eine Dispersionsrelation für die Geschwindigkeit. Die Welle propagiert demnach senkrecht zu der Anregungsrichtung und hat dabei nicht nur die üblichen diffusiven Anteile proportional zu der Fluidviskosität. Zusätzlich ergeben sich Anteile, die auf den Maxwell'schen Spannungstensor zurückzuführen sind. Diese Teile ergeben bei entsprechend hoher Materialsuszeptibilität einen elastischen Teil in der zu Grunde liegenden Dispersionrelation.

The main focus of this thesis is the application of existing hydrodynamic theories on the rheology of granular matter and ferrofluids. For this we derive necessary equations and solve them in different boundary conditions and experimental geometries. Our goal is to describe, at least qualitatively, several observed effects in order to study the quality of the used theory.

The first part of this work is up to granulates. At the beginning of chapter three we give a short introduction in common properties of this material class. Then we introduce the hydrodynamic theory which we use in subsequent chapters. Mainly this theory is based upon a transient elasticity and on a mesoscopic granular temperature. Transience of elasticity is an essential feature because (dry) granulates have a tendency being mechanically unstable by an excitation. Granular temperature is a measure for the energy of undirected, random motions of the grains itself.

We will discuss the first observed effect in chapter four. One observes a perfect plasticity as long as the strains done at the system are relatively small. Basically this means that the measured shear stresses are independent of the chosen rate of external excitation. We are interested to describe this effect qualitatively and choose a simple shear geometry. Then we examine a stationary system and solve the equations for elastic strains together with the equation for the granular temperature. This implies for the stress tensor that it is independent from the rate of excitation.

Granulates are also exposed to to stronger deformations or excitations respectively and the granular temperature will play a central role. In chapter five we will discuss this area of granular phenomena. Such strong excitations lead to completely different behaviour of measured stresses. Depending on experimental configuration and boundary conditions we find different measured curves. The behaviour of shear stress is mostly discussed as a function of the rate of shear strain. The spectrum goes from quadratic to nearly vanishing dependencies on the rate of shear strain. We solve the equations of motion for different geometries at which we include gravitation and free surfaces successively.

After we discussed slow and fast deformations, we will describe in chapter six the so called intermediate range. For relatively small strains we have a perfect plastic system and for strong strains we could see that we get a system which is a function of the rate of deformation in some sense. One can see that the transition is not necessarily a monotonic function, i.e. one can see a minimum in computed stresses.

The second part of this work deals with ferrofluids, i.e. strongly magnetizable liquids. With chapter seven we give a short introduction in structure and phenomena of ferrofluids. In analogy to granulates we use a hydrodynamic theory. We have to expand the hydrodynamic description with electromagnetic fields. The Magnetization appears as an independent variable for which we have an own equation of motion.

For ferrofluids there are astonishing effects under the influence of an external magnetic field. In chapter eight we discuss the possibility of a a shear thinning effect. In this chapter it is shown that the entrainment of the magnetization describes this effect. We discuss two different configurations in fields and solve this problem in simple shear geometry. The connection between magnetization and remaining magnetic fields is not a linear function but the so called Langevin-function.

In chapter nine we discuss the possibility of an elastic shear wave in a ferrofluid. We solve the relevant part of hydrodynamic mode spectrum and obtain a dispersion relation for velocity. This wave propagates perpendicular to the direction of excitation and shows not only the usual parts of dissipation which are proportional to the liquid viscosity. In addition we get expressions which are connected to the Maxwell stress tensor. This expressions generate an elastic portion in the dispersion relation.