Funktionale von n-Coalescents

Abstract

Coalescent-Prozesse sind austauschbare Markov-Prozesse in stetiger Zeit. Ihr Zustandsraum ist die Menge der Partitionen der natürlichen Zahlen. Schränkt man einen Coalescent-Prozess auf die Menge der Partitionen von {1,...,n} ein, so kann der eingeschränkte Prozess als ein zufälliger Baum mit n Blättern und zufälligen Zweiglängen aufgefasst werden. Man nennt diesen eingeschränkten Prozess einen n-Coalescent. n-Coalescents können als Modelle für den Stammbaum einer Stichprobe von n Individuen benutzt werden, die aus einer unendlich großen Population ausgewählt werden. Diese Arbeit behandelt Funktionale von n-Coalescents, die hier mit Begriffen aus dem Gebiet der Graphentheorie beschrieben werden: -Die Höhe eines n-Coalescent-Baumes -Die Länge eines zufällig ausgewählten externen Zweiges -Die Anzahl der internen Knoten des Baumes, deren gerichtete Pfade zu Blättern des Baumes kürzer sind als ein zufällig ausgewählter externer Zweig Zur Definition des dritten Funktionals werden die Zweige des n-Coalescent-Baumes als gerichtet angesehen, mit Richtung von der Wurzel zu den Blättern. Für diese Funktionale werden für den Bolthausen-Sznitman-Coalescent schwache Konvergenz-Resultate für n gegen unendlich bewiesen. Der Bolthausen-Sznitman-Coalescent taucht im Gebiet der Spin-Gläser in der mathematischen Physik auf. Verwendet man einen n-Coalescent als Modell für den Stammbaum einer Stichprobe von n Individuen, so lässt sich zu diesem Modell eine neutrale Mutationsstruktur hinzufügen. Die Mutationsstruktur ist ein homogener Poisson-Punktprozess, der auf den Zweigen des n-Coalescent-Baumes operiert, wobei der Punktprozess und der n-Coalescent unabhängig sind. Die Mutationsstruktur wird genutzt, um jedem Individuum der Stichprobe nach dem Infinitely-Many-Alleles-Modell einen Allel-Typ zuzuordnen. In dieser Arbeit wird die Anzahl der verschiedenen Allel-Typen in der Stichprobe betrachtet. Für dieses Funktional wird eine Verteilungsrekursion bewiesen, die für alle Coalescents mit neutraler Mutationsstruktur gilt. Für Coalescents mit Staub und einer neutralen Mutationsstruktur wird bewiesen, dass die Anzahl der Allel-Typen mit Stichprobengröße n gegen unendlich im p-ten Mittel konvergiert (p größer gleich 1). Für die Unterklasse der Simple Coalescents wird gezeigt, dass diese Konvergenz auch fast sicher gilt.

Coalescent processes are exchangeable Markovian processes in continuous time. Their state space is the set of partitions of the natural numbers. If a coalescent process is restricted to the partitions of {1,...,n}, it can be interpreted as a random tree with n leaves and random branch lengths. The restricted process is called n-coalescent. n-coalescents can be used as models for the ancestral tree of a sample of n individuals taken from an infinite population. This thesis focuses on several functionals of n-coalescents which here will be described in terms of random trees: -The height of a n-coalescent tree -The length of an external branch picked at random -The number of internal nodes of the tree which only have directed paths to leaves with length shorter than a randomly picked external branch For the third functional, the n-coalescent tree is seen as a directed tree with direction from root to leaves. For these functionals, weak convergence results for n going to infinity are presented for the Bolthausen-Sznitman coalescent. The Bolthausen-Sznitman coalescent appears in the field of spin glasses in mathematical physics. If a n-coalescent is used as a model for the ancestral tree of a sample of n individuals, a neutral mutation structure can be added to the model. This is done by letting a homogeneous Poisson point process act on the branches of the n-coalescent, where the point process is independent of the n-coalescent. Here, the allelic types of the individuals in the sample are determined under the infinitely many alleles model. In this setting, the number of different allelic types appearing in the sample is analyzed. A distributional recursion for this functional is derived which is valid for any coalescent process with neutral mutation structure. For coalescents with dust and a neutral mutation structure, convergence in the p-th mean is shown for the number of types for n going to infinity (p greater than or equal to 1). For the subclass of simple coalescents, this convergence is shown to also hold almost surely.