Akustik granularer Materie

Abstract

In dieser Arbeit wenden wir die hydrodynamische Theorie auf granulare Systeme an. Wir nennen sie GSH-Theorie, für “granular solid hydrodynamics”. Sie wird hier auf akustische Eigenschaften und Relaxationsphänomene granularer Systeme angewendet. Ziel ist es die unterschiedlichen akustischen Eigenschaften, zu denen die spannungsinduzierte Anisotropie, der Softening-Effekt und die starke nichtlineare Dämpfung gehören, innerhalb dieser Theorie zu beschreiben. Dazu leiten wir aus dem Satz der GSH-Gleichungen eine Wellengleichung ab und interpretieren damit aktuelle experimentelle Befunde. Außerdem geben wir eine erstaunlich einfache Erklärung für das Phänomen der unerwartet platzenden Silos.

Das Konzept der granularen Temperatur und die durch sie gesteuerte Relaxation der Spannungen ist zentraler Bestandteil der Theorie und dieser Arbeit. Wir leiten aus den GSH-Gleichungen einen neuen nicht-viskosen Dämpfungsmechanismus ab, der es erlaubt die gemessene nichtlineare Dämpfung granularer Materie zu verstehen.

Eine Einführung in die vielfältigen Phänomene granularer Materie ist in Kapitel eins gegeben, ebenfalls ein Überblick über aktuelle Forschungsfragen im Bereich der granularen Akustik. Die Besonderheit granularer Materie ist die Fähigkeit den Aggregatzustand ohne merkliche Temperaturänderung von fest nach flüssig zu wechseln. Die Akustik ist zum Verständnis dieser Phänomene von zentraler Bedeutung, das sie Einsicht in viele wichtige Materialparameter gibt.

In Kapitel zwei stellen wir die hydrodynamische Theorie anhand des Beispiels von newtonschen Fluiden, Festkörpern und Polymeren vor. Die Ableitung der expliziten Form der Bewegungsgleichungen geschieht anhand einer Standardprozedur. Wir wenden dabei lediglich Erhaltungssätze, Symmetrieargumente, die irreversible Thermodynamik und das Konzept der langsamen Variablen an.

Im folgenden Kapitel drei leiten wir die GSH-Theorie entsprechend dieser Standardprozedur explizit ab. Der zentrale Bestandteil ist die Einführung der granularen Entropie als langsame Variable mit einer entsprechenden Bewegungsgleichung, sowie die durch sie gesteuerte Relaxationsrate für die elastischen Spannungen. Wir sind damit in der Lage die transienten Eigenschaften granularer Materie zu beschreiben.

Kapitel vier und fünf beinhalten die eigentlichen Ergebnisse dieser Arbeit. Wir wenden die abgeleitete Theorie auf akustische Fragestellungen an. Dazu gehören die starke frequenz- und amplitudenabhängige Dämpfung, der sog. Softening-Effekt und die spannungsinduzierte Anisotropie.

Wir kommen zum Schluss, dass die GSH-Theorie in der Lage ist die unterschiedlichsten Phänomene granularer Materie zu fassen. Der hier beschriebene Dämpfungsmechanismus über die granulare Temperatur ist direkte Folge der Bewegungsgleichungen und damit der Struktur der Theorie. Genauso fundamental ist die Erklärung des Softening-Effekts, welcher auf einen nicht diagonalen Onsagerkoeffizienten zurückzuführen ist. Die spannungsinduzierte Anisotropie ist direkte Konsequenz der nichtlinearen elastischen Energie.

In this work we apply the hydrodynamic theory to granular systems and call it GSH-theory, for “granular solid hydrodynamics”. It is here applied to the acoustic properties and relaxation phenomena of granular systems. Its objective is to describe different acoustic properties, such as the stress-induced-anisotropy, the softening effect and the strong nonlinear damping. To this end we derive a wave equation from the set of GSH-equations and apply it to recent experimental findings. Further we give an astonishing simple explanation for the phenomenon of unexpectedly exploding silos.

The concept of granular temperature and the therewith controlled relaxation of stresses are the main concepts of the theory and of this work. From the GSH-equations we derive a novel non-viscous damping mechanism, which allows to understand the measured nonlinear damping in granular matter.

Chapter one contains an introduction to the multifaceted phenomenology of granular matter along with an overview of current research interests in granular acoustics. The characteristic feature of granular matter is the ability to change its phase from solid to liquid without noticeable change of temperature. To understand these different phenomena acoustics is of central relevance, as it gives insight into many material parameters.

Chapter two presents the hydrodynamic theory by means of newtonian fluids, solids and polymers. The derivation of the explicit form of the equations of motion is performed with the help of a standard procedure, which only uses conservation laws, symmetry arguments, irreversible thermodynamics and the concept of slow variables.

In the following chapter three we derive the explicit form of GSH-equations according to this procedure. The central idea is the introduction of the granular entropy as a slow variable with an according equation of motion, which controls relaxation of stresses. This enables us to describe the transient phenomena of granular matter.

Chapter four and five contain the actual results of this work. We apply the derived theory to acoustic problems. To these belong effects such as strong amplitude dependent and independent damping, the so called softening effect and the stress induced anisotropy.

We come to the conclusion, that GSH-theory is able to cope with a variety of granular phenomena. The damping mechanism described here via the granular temperature is a direct consequence of the equations of motion and thus of the structure of the theory itself. Equally fundamental is the explanation of the softening effect, which is the result of a non-diagonal Onsager coefficient. The stress induced anisotropy stems from the nonlinear elastic energy.