KA-homogene partielle Ordnungen

Abstract

KA-Homogenität ist eine abgeschwächte Variante der Homogenität: In abzählbaren KA^n_m-homogenen partiellen Ordnungen ist lediglich für diejenigen endlichen Isomorphismen die Fortsetzbarkeit garantiert, deren Definitionsbereich durch n Ketten und m Antiketten überdeckt wird.

Eine vollständige Klassifikation der höchstens abzählbaren homogenen partiellen Ordnungen ist 1979 bereits James H. Schmerl gelungen. Hier werden nun die abzählbaren KA-homogenen partiellen Ordnungen klassifiziert. Von wesentlicher Bedeutung ist dabei ein Homogenitätskriterium, das die Separiertheit einiger weniger, kleiner Substrukturen als Charakteristikum von Homogenität ausweist.

Separiertheitsüberlegungen sind auch grundlegend für die Konstruktionen abzählbarer Ketten- und Antiketten-homogener (d.h. KA^1_0- und KA^0_1-homogener) oder sogar Kreuz-homogener (KA^1_1-homogener) partieller Ordnungen, die nicht homogen sind. Die Konstruktionen beruhen alle auf der Idee der Realisierung und Auslassung von Typen.

Die Existenz solcher partieller Ordnungen zeigt, dass weder Ketten- und Antiketten-Homogenität noch Kreuz-Homogenität bereits Homogenität implizieren.

Zum Schluss wird das zentrale Ergebnis ins Überabzählbare übertragen: Für jede reguläre Kardinalzahl k mit 2^{< k} = k gibt es k-mächtige partielle Ordnungen, die sowohl Ketten- als auch Antiketten-homogen, nicht aber homogen sind.

KA-homogeneity is a weakened variant of homogeneity: In a countable KA^n_m-homogeneous partial order, every finite isomorphism extends to an automorphism -- provided that its domain is covered by n chains and m antichains.

The countable homogeneous partial orders were completely classified by James H. Schmerl in 1979. We give a classification of the countable KA-homogeneous partial orders. Of substantial importance is a homogeneity criterion involving the separation properties of only a few small substructures.

Separation properties are crucial also for our constructions of countable chain- and antichain-homogeneous (i.e. KA^1_0- and KA^0_1-homogeneous) and even cross-homogeneous (KA^1_1-homogeneous) partial orders which are not homogeneous. All of these constructions are based on the idea of realizing and omitting types.

The existence of such partial orders shows that neither chain- and antichain-homogeneity nor cross-homogeneity already imply homogeneity.

Finally, we extend the central result to the uncountable case: For any regular cardinal k with 2^{< k} = k, there are partial orders of cardinality k which are both chain- and antichain-homogeneous without being homogeneous.