Spherical Quasihomogeneous SL(2)-Varieties

Abstract

Man kann den n-dimensionalen projektiven Raum P^n über C als den folgenden Quotienten: (Cn+1\{0})\C* defnieren. Eine ähnliche Quotientenkonstruktion für eine beliebige torische Varietät X wurde von David Cox vorgeschlagen [Cox95]. Sei X eine n-dimensionale torische Varietät mit einem rationalen polyhedralen Fächer Delta. Sei Delta(1) die Menge aller 1-dimensionaler Kegel von 4 und sei Cl(X) die Divisorenklassengruppe von X. Dann wirkt die algebraische Gruppe (Quasitorus): T := HomZ(Cl(X),C*) auf natürliche Weise auf dem a nen Raum C^Delta(1), so dass der kategorische Quotient (C^Delta(1) \Z) / T existiert und isomorph ist zu X. Hierbei ist Z eine Zariski abgeschlossene Menge, die durch ein homogenes Ideal im Koordinatenring C[x_0,..,x_n] definiert ist. Eine quasihomogene SL(2)-Varietät ist eine normale 3-dimensionale algebraische Varietät X über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k zusammen mit einer regulären SL(2)-Wirkung, so dass X eine offene dichte Bahn hat. Zur Vereinfachung betrachten wir den Fall k = C. In dieser Arbeit geben wir eine geometrische Methode zur Konstruktion einer speziellen Klasse von SL(2)-Varietäten X als kategorische Quotienten an. Als ersten Schritt haben wir den affinen Fall von SL(2)-Varietäten betrachtet [BH08]. Diese Varietäten wurden von Popov [P73] klassifiziert. Jede affine SL(2)-Varietät E ist durch zwei Zahlen eindeutig bestimmt; einer rationalen Zahl h = p/q (gcd(p, q) = 1, 0 < h kleiner/gleich 1), welche die Höhe von E genannt wird, sowie einer natürlichen Zahl m, dem sogenannten Grad von E. Die entsprechende affine SL(2)-Varietät wird mit E_(h,m) bezeichnet. Wir haben gezeigt, dass die Varietät E_(h,m) zum kategorischen Quotienten der affinen Hyperfläche: Hq-p :{ X^(q-p)_0 =X1X4 - X2X3} nach der Wirkung der diagonalisierbaren Gruppe G_0 x G_m isomorph ist, wobei G0={ diag (t,t^-p, t^-p, t^-q, t^-q) ,t in C} so dass G_m in D(5,C) von diag (1,t^-1, t^-1, t, t) erzeugt ist.

Wir haben dann bemerkt, dass affine SL(2)-Varietäten zu einer Klasse von SL(2)-Varietäten gehören, die eine zusätzliche mit der SL(2)- Wirkung kommutierende C*_-Wirkung besitzen. Diese Varietäten werden wir SL(2)-Varietäten mit C* -Wirkung nennen. Es ist sehr wichtig, dass SL(2)-Varietäten mit C*_-Wirkung als sphärische G-Varietäten bezüglich der regulären Wirkung der reduktiven 4-dimensionalen algebraischen Gruppe G := SL(2) x C* betrachtet werden können, d.h., der Stabilizator H in G eines Punkts der offenen SL(2)-Bahn 1-dimensionale sphärische Untergruppe von G ist. Deshalb werden wir SL(2)-Varietäten mit C*_-Wirkung auch sphärische quasihomogene SL(2)-Varietäten nennen. Sphärische Varietäten sind eine Verallgemeinerung von torischen Varietäten und wurden durch gefärbte Fächer von strikt konvexen Kegeln klassifiziert. Durch diese kombinatorische Beschreibung kann man einige geometrische Eigenschaften von diesen Varietäten wie beispielsweise Glattheit, Vollständigkeit oder Projektivität bestimmen ([K91]). Wir bemerken, dass die offene dichte SL(2)-Bahn einer sphärischen SL(2)- Varietät X isomorph ist zu SL(2)/C_m, wobei C_m eine zyklische Gruppe der Ordnung m ist. Die Zahl m ist eine Verallgemeinerung des Grads im affinen Fall. Mit Hilfe der Theorie der sphärischen Varietäten können wir eine beliebige sphärische quasihomogene SL(2)-Varietät X = X(Sigma) durch einen 2-dimensionalen gefärbten Fächer Sigma in R^2 beschreiben. Seien v_1,. . ., v_k in Z^2 die Menge aller Erzeuger der Gitter von 1-dimensionalen Kegeln in Sigma, und v_i = (-p_i,-q_i), gcd(p_i,q_i) = 1 (1 kleiner\gleich i kleiner\gleich k). Wir zeigen, dass X(Sigma) als GIT-Quotient der folgenden affinen Hyperfläche in C^(k+4): X^(q_1-p_1)_1 . . . X^(q_k-p_k)_k=X1X4 - X2X3 nach der Wirkung der diagonalisierbaren Gruppe G_0XG_m realisiert werden kann. Hierbei ist G_0 und G_m eine zyklische Gruppe der Ordnung m. Mit dieser Konstruktion war es nicht schwierig zu zeigen, dass der Cox Ring dieser Varietäten durch eine einzige Gleichung definiert ist. Ähnliche Beispiele von algebraischen Varietäten, deren Cox Ring durch eine einzige Gleichung definiert wird, wurden in [BH07] betrachtet. Im affinen Fall kann diese Beschreibung von Cox Ringen als eine Illustration von allgemeineren neuen Resultaten von Brion über Cox Ringe von sphärischen Varietäten verwendet werden [B07]. D. Luna und Th. Vust haben in [LV83] kombinatorische Diagramme entdeckt um eine beliebige normale SL(2)-Einbettung X zu beschreiben (wir nennen diese Diagramme Luna-Vust Diagramme). Diese Diagramme geben Informationen über die lokalen Ringe von SL(2)-Bahnen in X. In dieser Arbeit finden wir für beliebige sphärische SL(2)- Varietäten X = X(Sigma) eine Methode zur Konstruktion des korrespondierenden Luna-Vust Diagramms aus dem 2-dimensionalen gefärbten Fächer 2-dimensionale gefärbte Fächer, welche SL(2)-Varietäten mit C^*- Wirkungen definieren, sind sehr gut geeignet für die Untersuchung ihrer birationalen Morphismen. Durch die gefärbten Fächer werden wir alle glatten SL(2)-Varietäten mit C ^* -Wirkungen und Picard Zahl kleiner\ gleich 3 klassifizieren. Von diesen Varietäten haben wir alle minimalen glatten Varietäten bestimmt, das sind Varietäten, die keine Aufblasung anderer Varietäten sind. Dies verallgemeinert die Resultate der L. M. Jauslin [Ja87] in dem speziellen Fall minimaler glatter SL(2)- und PGL(2)- Einbettungen. Ferner haben wir minimale glatte SL(2)-Varietäten mit C ^* -Wirkung, welche zusätzlich torisch sind, bestimmt.

The n-dimensional projective space P^n over C can be de ned as the quotient (Cn+1\{0})\C* . A similar quotient construction was proposed by David Cox for any toric variety X [Cox95]. Let X be an n-dimensional toric variety de ned by a rational polyhedral fan 4. We denote by 4(1) the set of all 1-dimensional cones in 4 and by Cl(X) the divisor class group of X. Then the algebraic group (quasitorus) T := HomZ(Cl(X),C*) has a natural linear action on the a ne space C^Delta(1) such that the categorical (C^Delta(1)nZ)=T exists and it is isomorphic to X where Z is Zariski closed subset de ned by some homogeneous ideal in the coordinate ring C[x_0,..,x_n]. A quasihomogeneous SL(2)-variety is a normal 3-dimensional algebraic variety X over an algebraic closed eld k together with a regular action of SL(2) which has an open dense orbit in X. For the simplicity we consider only the case k = C. In this work we give a geometric method to construct a special class of SL(2)-varieties X as a categorical quotient. As a rst step of our investigation we consider the case of a ne SL(2)-varieties [BH08]. These varieties were classi ed by Popov [P73]. Every a ne SL(2)-variety E is uniquely determined by a pair of numbers: a rational number h = p/q (gcd(p, q) = 1, 0 < h kleiner/gleich 1) called the height of E and a natural number m called the degree of E. The corresponding variety SL(2)-variety will be denoted by E_(h,m). We prove that E_(h,m) is isomorphic to the categorical quotient of the a ne hypersurface Hq-p in C^5 defined by the equation X^(q-p)_0 =X1X4 - X2X3 modulo the action of the diagonalizable group G_0 x G_m, where G0={ diag (t,t^-p, t^-p, t^-q, t^-q) ,t in C} where G_m in D(5,C) is generated by diag (1,t^-1, t^-1, t, t)

In order to make our next step we remark that the a ne SL(2)- varieties belong to a larger class of SL(2)-varieties having an additional C -action which commutes with the SL(2)-action. We will call these varieties by SL(2)-varieties with C -action. It is very important that SL(2)-varieties with C -action can be considered as spherical G- varieties with respect to a regular action of the reductive 4-dimensional algebraic group G := SL(2) x C*, i.e., the stabilizer H in G of a point in the open SL(2)-orbit is a 1- dimensional spherical subgroup of G. For this reason we call SL(2)- varieties with C* -action also spherical quasihomogeneous SL(2)-varieties.

Spherical varieties are generalizations of toric varieties and they are classi ed by colored fans of strictly convex colored cones. Using the combinatorics of these fans one can determine certain geometric properties of these varieties for example: smoothness, completeness, or projectivity (see [K91]). We remark that the open dense SL(2)- orbit in a spherical SL(2)-variety X is isomorphic to SL(2)/C_m, where C_m is a cyclic group of order m. This number is a generalization of the degree of an a ne SL(2)-variety E_(h,m ) to an arbitrary spherical quasihomogeneous SL(2)-variety X.

Using the theory of spherical varieties, we can describe an arbitrary spherical quasihomogeneous SL(2)-variety X = X(SIGMA) by a 2- dimensional colored fan SIGMA in R2. Let v_1,..., v_r in Z^2 be the set of all lattice generators of 1-dimensional cones in SIGMA where v_i = (-p_i,-q_i), such that gcd(p_i,q_i) = 1 (1 kleiner\gleich i kleiner\gleich k).

Then we show that X(SIGMA) can be obtained as a GIT-quotient of the a ne hypersurface in C^(r+4): X^(q_1-p_1)_1 . . . X^(q_r-p_r)_r=X1X4 - X2X3 modulo the action of the diagonalizable group G_0XG_m, where G_0isomorph to (C* )r and G_m is a cyclic group of order m. From this construction it was not di cult to show that Cox ring of such varieties is de ned by a unique equation. Similar examples of algebraic varieties whose Cox ring is de ned by a unique equation were considered in [BH07]. In the a ne case this description of Cox ring can be used as a good illustration of more general recent results of Brion on Cox ring of spherical varieties [B07]. 6 D. Luna and Th. Vust in [LV83] have discovered combinatorial diagrams for describing arbitrary normal SL(2)-embedding X (we call them Luna-Vust diagrams). These diagrams give information about the local rings of SL(2)-orbits in X. In this work, for any spherical SL(2)- variety X = X(SIGMA ) we give a method to construct the corresponding Luna-Vust diagram from the 2-dimensional colored fan SIGMA. 2-dimensional colored fans de ning SL(2)-varieties with C* -actions are very convenient for the investigation of their birational morphisms. Using colored fans, we give a classi cation of all smooth SL(2)-varieties with C* -action with the Picard number 3. From these varieties we have classi ed all minimal smooth varieties, i.e., varieties which are not the blow-up of another varieties. This generalizes the results of L. M. Jauslin [Ja87] in the special case minimal smooth SL(2) and PGL(2)-embeddings. Furthermore we have found minimal smooth SL(2)-varieties with C* -action which are toric.