Topologische Anregungen und externe Ladungen in Yang-Mills-Theorien und Ising-Spin-Gläsern bei endlichen Temperaturen

Abstract

Die vorliegende Dissertation widmet sich der Untersuchung verschiedener physikalischer Systeme im Grenzbereich zwischen statistischer Physik und Quantenfeldtheorie mithilfe nicht-störungstheoretischer Methoden.

Im ersten Kapitel wird der von Dirac im Rahmen der Quantenelektrodynamik eingeführte Dressingformalismus zur Behandlung eichinvarianter Ladungen auf den Fall nicht-abelscher Eichtheorien ausgeweitet. Zunächst wird dazu eine Methode entwickelt, die es erlaubt, verschiedene Ansätze für den unbekannten Grundzustand einer Eichtheorie bei Anwesenheit eines Paares von statischen Ladungen miteinander vergleichen zu können. Das Hauptaugenmerk richtet sich dabei auf Zustände, die eng mit der Wahl der axialen Eichung, sowie der Coulomb-Eichung verknüpft sind. Ausgehend von der analytisch zugänglichen QED wird gezeigt, dass ein Vergleich der Persistenzamplituden von Zuständen, die durch Verwendung unterschiedlicher Dressings der Ladungen konstruierten werden können, auch im Rahmen der numerischen Behandlung der zugehörigen Gittereichtheorie mittels Monte-Carlo-Simulationen einen gangbaren Weg zur Untersuchung der Physik des Grundzustands darstellt. Die Grenzen einer störungstheoretischen Konstruktion von Dressings im Falle nicht-abelscher Eichtheorien werden diskutiert bevor der nicht-perturbative Zugang zunächst in zwei verschiedenen Realisierungsphasen einer SU(2)-Eichtheorie mit einem Skalarfeld in fundamentaler Darstellung weiter verfolgt wird. Zuletzt werden die Ergebnisse einer Untersuchung der reinen SU(2)-Yang-Mills-Theorie im Kontinuumslimes vorgestellt.

Im zweiten Kapitel wird die Rolle von Zentrumsvortices in der Theorie der starken und elektroschwachen Wechselwirkung bei endlichen Temperaturen studiert. Das Phänomen des string breaking, welches im Rahmen des sogenannten Random-Vortex-Modells auf eine Veränderung der Perkolationseigenschaften der Vortices zurückgeführt werden kann, konnte im Rahmen der numerischen Untersuchung eines zentrumsprojizierten Modells der Quantenchromodynamik nach Fixierung der Direkten Maximalen Zentrumseichung (DMCG) in der Theorie der Zentrumsfreiheitsgrade beobachtet werden. Bei der Untersuchung des elektroschwachen Standardmodells bei endlichen Temperaturen hat sich gezeigt, dass eine sinnvolle Definition von Zentrumsvortices - im Gegensatz zu elementaren Z-Strings und Nambu-Monopole - auch in der dimensional reduzierten Theorie mit Hilfe von lokalen Operatoren möglich ist, die es erlaubt, Objekte zu detektieren, deren Dichte sich als invariant unter Renormierungsgruppen-Transformationen erweist.

Das dritte Kapitel widmet sich der Untersuchung frustrierter Systeme. Anhand des prototypischen zweidimensionalen Ising-Spin-Glases wird zunächst die Möglichkeit einer eichinvarianten Charakterisierung der Frustration durch die Dichte von Z_2-Vortices erläutert, was eine vereinheitlichte Klassifizierung verschiedener Instanzen von Spin-Gläsern unter dem Gesichtspunkt identischer thermodynamischer Eigenschaften ermöglicht. Die Rolle der Landau-Eichung bei der Berechnung der Energie des Grundzustands wird diskutiert, bevor diese als Funktion des neuen Komplexitätsparameters exakt bestimmt wird. In anschließenden Simulationen von Spin-Gläsern bei endlichen Temperaturen wird ein Algorithmus eingesetzt, welcher in der Lage ist, der Eichinvarianz des jeweiligen Modells bei der Definition der zu aktualisierenden Cluster von Spins umfassend Rechnung zu tragen. Weitere Anwendungsmöglichkeiten werden anhand einer Simulation der dimensional reduzierten QCD in der Nähe der kritischen Temperatur illustriert, welche durch Einbettung von Ising-Spins auf ein frustriertes Spin-Modell in d=3 Dimensionen mit dynamisch generierten Kopplungskonstanten abgebildet werden kann.

Gegenstand des letzten Kapitels ist die Untersuchung der Grundlagen des Standardmodells der elektroschwachen Wechselwirkung sowie die Frage nach einer Alternative zur Freisetzung von schwacher Isospinladung durch Kondensation der Bosonen des fundamentalen Higgs-Feldes. Zu diesem Zweck wird eine vierdimensionale SU(3)-Eichtheorie mit dynamischem Skalarfeld in adjungierter Darstellung untersucht, welche eine Realisierungsphase besitzt, die durch die residuelle Symmetriegruppe SU(2) x U(1) charakterisiert ist. Eine Untersuchung des statischen Potentials, welches zwischen externer Quellen mit Hyperladung und schwachem Isospin herrscht, sowie die Ergebnisse der Untersuchung des Spektrums der Theorie weisen dabei darauf hin, dass an einem bestimmten Punkt des Phasendiagramms eine effektive Quantenfeldtheorie realisierbar sein sollte, die weder das Confinement-Phänomen, noch das Auftreten eines mass gap zeigt, obwohl die zugrunde liegende Symmetriegruppe einen nicht-abelschen Faktor enthält.

The present thesis is devoted to an investigation of various physical systems in the vicinity of the boundary between statistical physics and quantum field theory using non-perturbative methods.

In the first chapter we present a generalization of the so called dressing formalism to non-abelian gauge theories, initially introduced by Dirac in the context of abelian gauge theories in order to construct gauge invariant charges in quantum electrodynamics. First of all, a method is devised which allows us to compare various Ansätze for the unknown ground state of a gauge theory in the presence of a pair of static charges. We primarily focus on two classes of states, closely related to the choice of axial and Coulomb gauge respectively. Starting from QED which can be treated analytically it is shown that a comparison of the persistence amplitude of different states, describing charges with different dressings, also provides a viable method to probe the ground state in a numerical investigation of the corresponding theory on a lattice by means of Monte Carlo simulations. The problems arising in a perturbative construction of dressings in non-abelian gauge theories are discussed before turning to the investigation of a SU(2)-Yang-Mills theory coupled to a scalar in the fundamental representation using a non-perturbative approach. Finally we present the results of an investigation of pure SU(2)-Yang-Mills theory in the continuum limit.

In the second chapter we study the role of centre vortices in the theory of strong and electroweak interactions at finite temperature. The string breaking phenomenon which can be understood as a change of percolation properties of vortices in the framework of the so called random vortex model proved to be observable in a numerical study of a model of QCD after fixing the Direct Maximal Centre Gauge (DMCG) and projecting onto the centre degrees of freedom. An investigation of the electroweak standard model at finite temperature showed that a sensible definition of centre vortices - as opposed to elementary Z-strings and embedded Nambu monopoles - can also be obtained in the dimensionally reduced theory using local operators only, which allows the detection of objects whose density proves to be invariant under renormalization group transformations.

The third chapter is concerned with the investigation of frustrated systems. On the basis of the prototypical two dimensional Ising spin glass we point out the possibility of a gauge invariant characterization of frustration by means of Z_2-vortices which allows for a unified classification of various instances of spin glasses sharing the same thermodynamic properties. The relevance of Landau gauge for the calculation of the ground state energy is explained before we present the results of an exact calculation of this energy in terms of the planar density of vortices which serves as a new parameter of complexity. At finite temperature an algorithm is used which is shown to be able to define and update clusters of spins in a gauge invariant way. As a first application of the cluster algorithm in the context of gauge theories, we study QCD in its dimensionally reduced form near the critical temperature by embedding Ising spins into the theory and mapping it to a frustrated spin model in d=3 dimensions with dynamically generated coupling constants.

The topic of the last chapter is an investigation of the fundamentals of the standard model of electroweak interactions as well as the quest for an alternative mechanism for liberation of weak isospin which does not rely on the condensation of fundamental Higgs bosons. To this end we study a SU(3) gauge theory in four space time dimensions coupled to a scalar field in the adjoint representation which enables a transition to a phase characterized by a residual symmetry group SU(2) x U(1). Our numerical results concerning both the static potential of external sources carrying weak isospin and hypercharge and the spectrum of the theory suggest that there might be a point in the phase diagram where an effective quantum field theory is realized which can be characterized by the absence of both of a mass gap and the confinement phenomenon although the symmetry group it is based upon includes a non-abelian factor.