Conformally Immersed Tori in the 4-Sphere and the Willmore Energy

Abstract

Wir studieren konforme Immersionen $f : T^2 \to S^4$ von Tori $T^2$ in die kon- forme 4-Sphäre, welche wir als quaternionisch projektive Gerade $S^4 = HP^1$ auffassen, mit Hilfe ihrer Spektralkurven. Ein immersierter Torus $f : T^2 \to S^4$ ist dasselbe wie ein holomorphes Linienunterbündel des trivialen $H^2$-Bündels $V$ über $T^2$. Konformität der Immersion wird durch die Existenz einer (quaternionisch) holomorphen Struktur $D$, also eines elliptischen Differentialoperators erster Ordnung, auf Schnitten des Linienbündels $V=L$ beschrieben. Die Spektralkurve des immersierten Torus $f$ ist eine analytische Beschreibung der Menge der Darbouxtransformationen der Immersion $f$. Falls $f$ triviales Normalbündel hat, ist die Spektralkurve eine 1-dimensionale analytische Varietät. Diese wird durch das Verschwinden der Quillendeterminante einer Familie elliptischer erster Ordnungs Operatoren $D_{\omega}$, welche Äuber dem Raum der harmonischen 1-Formen $\omega \in Harm(T^2;C)$ parametriert ist, beschrieben. Wir drücken das Willmorefunktional $W =\int H^2$, das Quadratmittel der mittlern Krümmung der Fläche $f$, als Krümmungs 2-Form des Quillenzusammenhanges aus. Indem wir die von Feldman, Knörrer und Trubowitz für skalare nicht-lineare Schrödinger Operatoren entwickelten Techniken auf Operatoren $D_{\omega}$ vom Dirac Typ mit Potential verallgemeinern, zeigen wir, daß die Spektralkurve eine Riemmansche Fläche von unendlichem Geschlecht ist, und bestimmen ihr asymptotisches Verhalten.

We study conformally immersed tori $f : T^2 \to S^4$ into the 4-sphere, where we view the conformal 4-sphere $S^4 = HP^1$ as the quaternionic projective line, in terms of their spectral curves. An immersed torus $f : T^2 \to S^4$ gives rise to a holomorphic line subbundle $L\subset V$ of the trivial $H^2$-bundle $V$ over $T^2$. Conformality of the immersion is expressed by the existence of a (quaternionic) holomorphic structure $D$, that is, a ¯rst order elliptic operator on sections of the quotient line bundle $V=L$. The spectral curve of the immersed torus $f$ is an analytic description of the space of Darboux transforms of the immersion $f$. If $f$ has trivial normal bundle the spectrum is a 1-dimensional analytic variety characterized by the vanishing of the Quillen determinant of a family $D_{\omega}$ of first order elliptic operators associated to $D$, parameterized over the space of harmonic 1-forms $\omega\in Harm(T^2;C)$. We express the Willmore energy $W =\int H^2$, the average of the mean curvature squared of the immersion $f$, as the curvature 2-form of the Quillen connection. Extending techniques developed by Feldman, Knörrer and Trubowitz for scalar non-linear Schrödinger operators to our Dirac type operators $D_{\omega} with potential, we show that the spectral curve is a Riemman surface of in finite genus and determine its asymptotic behavior.