Numerical Analysis of the Mumford-Shah and Mumford-Shah-Euler Functionals for Sphere-Valued Functions, and applications to Numerical Image Processing

Abstract

The objective of this thesis is to find and analyse practical numerical algorithms for the minimisation and gradient-flows of the Mumford-Shah and Mumford-Shah-Euler functionals for unit vector fields.

The motivation for these questions is twofold: First, these are interesting model-problems combining non-convex functionals with a non-convex constraint, as an extension of existing works on harmonic maps to the sphere.

Second, bot functionals were originally introduced in image processing: The Mumford-Shah functional for segmentation, and the Mumford-Shah-Euler functional for inpainting; and the sphere-constraint can be used to implement the chromaticity and brightness colour model in this context.

In the first part of the thesis, two schemes for the minimisation of the Mumford-Shah functional for unit-vector fields are presented and discretised using first-order finite elements. The first scheme uses a projection approach to enforce the sphere-constraint. It works well in simulations, but we only have partial convergence results. The second scheme uses a penalisation approach, which only approximates the sphere-constraint, but allows for a complete proof of convergence.

In the second part of the thesis, two schemes for the gradient-flow of the Mumford-Shah-Euler functional for unit-vector fields are presented and discretised, again using first-order finite elements. The first scheme is an extension of the penalisation approach from part one, which again allows for a complete proof of convergence. The second scheme uses a Lagrange multiplier to enforce the sphere constraint, and we can again only present partial convergence results.

Both parts are concluded by simulations comparing the two corresponding algorithms with each other and presenting comparisons between the chromaticity and brightness and the conventional RGB colour model.

Ziel dieser Arbeit ist es, praktikable numerische Minimierungs- und Gradientenfluss-Verfahren für das Mumford-Shah und das Mumford-Shah-Euler Funktional für Einheitsvektorfelder zu finden und zu analysieren.

Die Motivation für diese Problemstellung ist zweifach: Zum einen sind dies interessante Modellprobleme, die nichtkonvexe Funktionale mit einer nichtkonvexen Nebenbedingung kombinieren und als Erweiterung bestehender Arbeiten über Harmonische Abbildungen in die Sphäre gesehen werden können.

Zum anderen kommen beide Funktionale ursprünglich aus der Bildverarbeitung: Das Mumford-Shah Funktional wurde zur Segmentierung, das Mumford-Shah-Euler Funktional zum Inpainting vorgeschlagen; und die Sphärenbedingung kann in diesem Zusammenhang eine Anwendung im Chromaticity and Brightness Farbmodell finden.

Im ersten Teil der Arbeit werden zwei Minimierungsverfahren für das Mumford-Shah Funktional für Einheitsvektorfelder angegeben und mithilfe von finiten Elementen erster Ordnung ins Diskrete übertragen. Das erste Verfahren erhält die Sphärenbedingung mithilfe eines Projektionsansatzes. Es liefert überzeugende Simulationen, zur Konvergenz können aber nur Teilresultate präsentiert werden. Das zweite Verfahren verwendet einen Penalisierungsansatz, der die Sphärenbedingung nur approximiert, dafür aber eine vollständige Konvergenzanalyse zulässt.

Im zweiten Teil der Arbeit werden zwei Gradientenfluss-Verfahren für das Mumford-Shah-Euler Funktional für Einheitsvektorfelder vorgestellt und wieder mithilfe finiter Elemente erster Ordnung diskretisiert. Das erste Verfahren erweitert den aus dem ersten Teil bekannten Penalisierungsansatz, der auch hier eine vollständige Konvergenzanalyse erlaubt. Das zweite Verfahren verwendet einen Lagrange-Multiplikator, der eine exakte Einhaltung der Sphärenbedingung garantiert, für den aber wieder nur Teilresultate zur Konvergenz präsentiert werden können.

In Simulationen im Abschluss der beiden Teile werden jeweils die beiden vorgestellten Algorithmen untereinander vergleichen, sowie Bildverarbeitungs-Vergleiche zwischen dem Chromaticity and Brightness und dem herkömmlichen RGB Farbmodell angestellt.