Birationale Eigenschaften generischer Hyperflächen in algebraischen Tori

Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich mit generischen Hyperflächen in algebraischen Tori, d.h. Divisoren algebraischer Tori der Dimension mindestens zwei. Diese sind im Allgemeinen nicht mehr torisch oder gar rational. Deswegen macht es Sinn, die Äquivalenzklassen dieser Hyperflächen bezüglich birationaler Äquivalenz zu betrachten. Dabei ist die Idee, die Hyperflächen mit torischen Methoden untersuchen. Unter anderem möchte man, dass eventuell auftretende Singularitäten durch die umgebende torische Varietät kontrolliert werden. Damit dies möglich ist, fordert man eine offene Bedingung an die betrachtete Hyperfläche und nennt diese dann generisch. Wir betrachten die generische Hyperflächen modulo birationaler Äquivalenz und interessieren uns für ihre Eigenschaften und einen möglichst einfachen Vertreter einer solchen Äquivalenzklasse. Letzteres ist Inhalt des Minimal Model Program. Dieses wird für den Fall von torischen Varietäten und generischen torischen Hyperflächen durch ein Verfahren anhand von Polytopen erläutert. Genauso werden durch Endlichkeitsaussagen über bestimmte Gitterpolytope Aussagen über generische torische Hyperflächen, die kein Minimal Model besitzen, und solche vom Geschlecht 0 erzielt. Schließlich wird das Lüroth-Problem für generische Hyperflächen torischer Varietäten behandelt und ein Kriterium für die Nicht-Rationalität dieser gegeben.

This thesis is about generic hypersurfaces in algebraic tori, i.e. divisors of algebraic tori of dimension at least two. These are in general not toric or even rational. So it makes sense to talk about birational equivalence classes of toric hypersurfaces. The main idea therefore is to treat these by using toric methods. In particular we assume all the possibly appearing singularities to be controllable by the surrounding toric variety. For this we ask for a generic condition and call the appropriate hypersurface generic. Now we observe this generic surface up to birational equivalence, we are interested in its proporties and search for a most simple representant of such an equivalence class. The latter is the main question of the minimal model program. This program is explained for toric varieties and generic toric hypersurfaces using polytopes. Also we will get results about the finitenes of certain classes of polytopes and will derive results about generic toric hypersurfaces, which have no minimal model, and such of genus 0. In the end we consider the Lüroth-problem for generic toric hypersurfaces and obtain a criterion for their non-rationality.