Wechselseitig vertauschbare Produkte endlicher Gruppen

Abstract

Zu einem der wichtigen gruppentheoretischen Probleme gehört die Untersuchung von Gruppen G=AB, die sich als Produkt zweier Untergruppen A und B faktorisieren lassen. Dabei steht die folgende Fragestellung im Mittelpunkt: Wie beeinflussen die Struktur und Einbettung der Faktoren A und B die Struktur der Gruppe G und umgekehrt?

Die vorliegende Arbeit trägt zur Beantwortung dieser Frage für (endliche) wechselseitig vertauschbare Produkte G=AB bei; dabei heißen A und B wechselseitig vertauschbar, wenn A mit jeder Untergruppe von B und B mit jeder Untergruppe von A vertauscht. Es werden wechselseitig vertauschbare Produkte im Zusammenhang mit Klassen von Gruppen (genauer Fittingklassen, Fittingformationen und gesättigten Formationen) und hinsichtlich allgemeiner Struktureigenschaften untersucht.

Die Strukturanalyse befasst sich zunächst mit der (Sub)normalität bestimmter Untergruppen wechselseitig vertauschbarer Faktoren. Unter verschiedenen Aspekten wird außerdem die Verwandtschaft wechselseitig vertauschbarer mit normalen Produkten diskutiert; ein Hauptergebnis in diesem Zusammenhang ist, dass A vom nilpotenten Residuum von B normalisiert wird (wenn A und B wechselseitig vertauschbar sind). Desweiteren werden Eigenschaften wechselseitig vertauschbarer Produkte G=AB vorgestellt, bei denen der Schnitt von A und B Core-frei in G ist. Diese Eigenschaften sind insbesondere bei Induktionsargumenten von beweistechnischem Nutzen.

Das Studium wechselseitig vertauschbarer Produkte G=AB in Verbindung mit Klassen von Gruppen beginnt mit Fittingklassen und den zugehörigen Radikalen. Erstaunlicherweise erweisen sich die Radikale der Faktoren A und B ihrerseits als wechselseitig vertauschbar. Ihr Zusammenhang mit dem Radikal von G erlaubt außerdem einige Aussagen zur Vererbung der Zugehörigkeit zu einer Fittingklasse von A und B auf G=AB und umgekehrt.

Dies motiviert die anschließende Diskussion der (wechselseitigen) Vertauschbarkeit des dualen Untergruppentyps, der Residuen der Faktoren A und B bezüglich Formationen. Es stellt sich unter anderem heraus, dass bei einer beliebigen Formation im Allgemeinen keine Vertauschbarkeit der Residuen vorliegt, wohl aber bei Fittingformationen und gesättigten Formationen. Damit rückt für diese Formationstypen der Zusammenhang der Residuen von A und B mit dem Residuum von G=AB in den Blick. Für Fittingformationen weisen die erzielten Ergebnisse Symmetrien zum Fall der zugehörigen Radikale auf. Für gesättigte Formationen ist der Zusammenhang der Residuen besonders bei Produkten G=AB mit einem Core-freien Schnitt der Faktoren A und B bemerkenswert, woraus sich auch für beliebige wechselseitig vertauschbare Produkte verschiedene Aussagen zur Vererbung bestimmter Klassenzugehörigkeiten ergeben.

One of the important problems in group theory is the study of groups G=AB which are products of two subgroups A and B. The following question is in the focus of interest: How do the structure and the embedding of the factors A and B influence the structure of the group G and vice versa?

This thesis contributes to the answers of this question for (finite) mutually permutable products G=AB; A and B are called mutually permutable if A permutes with every subgroup of B and B permutes with every subgroup of A. We study mutually permutable products within the framework of classes of groups (Fitting classes, Fitting formations and saturated formations) and with regard to general structural properties.

First we investigate the (sub)normality of certain subgroups of mutually permutable factors. In addition, we discuss how closely related mutually permutable products are to normal products; a main result in this context is that the nilpotent residual of B normalizes A (if A and B are mutually permutable). Furthermore, we present some properties of mutually permutable products G=AB with a core-free intersection of the factors A and B. These results play an important role in proofs using induction arguments.

The study of mutually permutable products G=AB in the context of group classes starts with Fitting classes and the corresponding radicals. Surprisingly, it turns out that the radicals of the factors A and B themselves are mutually permutable. Moreover, their connection to the radical of G answers the question how containment of A and B in a Fitting class is inherited by G=AB and vice versa.

This motivates the discussion of the (mutual) permutability of the dual type of subgroups, namely the residuals of the factors A and B associated to formations. We show that for an arbitrary formation, the residuals do not permute in general, but they do permute (among others) for Fitting formations and saturated formations. Therefore, we take a closer look at the connection between the residuals of A, B and G=AB for these types of formations. In the case of Fitting formations, the behavior of the residuals turns out to be very symmetric to the behavior of the corresponding radicals. In the case of saturated formations, we obtain remarkable results in particular for products G=AB with a core-free intersection of A and B, which has several consequences also to arbitrary mutually permutable products concerning their containment in different classes of groups.