Long-time analysis of Hamiltonian partial differential equations and their discretizations

Abstract

Hamiltonian partial differential equations are partial differential equations, that can be written in the form of a Hamiltonian system as for instance the equations of motion in classical mechanics but on an infinite dimensional phase space. Important examples are Schrödinger equations and wave equations which attract much interest because of both, their beautiful mathematical structure but also their applications in physics, for instance in quantum mechanics.

In the theory of (finite or infinite dimensional) Hamiltonian systems invariants or conserved quantities play a dominant role. These quantities are conserved along a solution of such equations and represent important physical properties such as energy conservation, but they are also fundamental in a mathematical analysis of the equations, for instance to show well-posedness.

From the point of view of numerical analysis the following question is then inevitable: What is the behaviour of invariants of Hamiltonian partial differential equations along a numerical solution of such equations? This is a fundamental problem in the field of geometric numerical integration which is concerned with the construction and the analysis of structure-preserving algorithms for differential equations. This question turns out to be closely related to a question in perturbation theory concerning the exact solution of Hamiltonian partial differential equations: How does a small (nonlinear) perturbation change the dynamics of a linear Hamiltonian partial differential equation?

This thesis contributes to the answers of both questions. We show that exact invariants of a linear Hamiltonian partial differential equation are approximately conserved along solutions of a nonlinearly perturbed version of the equation on remarkably long time intervals. This is done with the help of a modulated Fourier expansion of the solution. It turns out that this technique also allows to study rigorously the first question, namely to study conserved quantities of the exact solution of such Hamiltonian partial differential equations along a numerical solution. We consider widely used numerical discretizations with the result that invariants of the exact solution of weakly nonlinear Hamiltonian partial differential equations are at least approximately conserved along suitable numerical solutions, again on remarkably long time intervals.

Hamiltonsche partielle Differentialgleichungen sind partielle Differentialgleichungen, die in Form eines Hamiltonsystems geschrieben werden können, wie beispielsweise die Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik, allerdings auf einem unendlichdimensionalen Phasenraum. Wichtige Beispiele sind Schrödinger- und Wellengleichungen, die sowohl wegen ihrer mathematischen Struktur als auch wegen ihrer Anwendungen in der Physik, zum Beispiel der Quantenmechanik, viel untersucht werden.

Erhaltungsgrößen oder Invarianten spielen in der Theorie Hamiltonscher partieller Differentialgleichungen eine wichtige Rolle. Hierbei handelt es sich um Größen, die entlang einer jeden Lösung einer solchen Gleichung erhalten werden. Sie stehen für wichtige physikalische Eigenschaften wie beispielsweise Energieerhaltung sind aber auch bei einer mathematischen Analyse der Gleichungen von entscheidender Bedeutung, um zum Beispiel Wohlgestelltheit zu beweisen.

Aus Sicht der numerischen Mathematik stellt sich nun zwangsläufig die folgende Frage: Wie verhalten sich Erhaltungsgrößen einer Hamiltonschen partiellen Differentialgleichung entlang einer numerischen Lösung dieser Gleichung? Hierbei handelt es sich um ein grundlegendes Problem der geometrischen numerischen Integration, die sich mit der Konstruktion und Analyse strukturerhaltender Algorithmen für Differentialgleichungen beschäftigt. Wie sich herausstellt, ist diese Frage eng verwandt mit einer Frage aus der Störungstheorie: Wie ändert eine kleine (nichtlineare) Störung die Dynamik einer linearen Hamiltonschen partiellen Differentialgleichung?

Diese Dissertation trägt zur Beantwortung beider Fragen bei. Es wird gezeigt, dass exakte Erhaltungsgrößen einer linearen Hamiltonschen partiellen Differentialgleichung entlang von Lösungen einer nichtlinear gestörten Variante der Gleichung zumindest annähernd erhalten werden, und zwar auf einem unerwartet langen Zeitintervall. Dieses Ergebnis wird mit Hilfe einer modulierten Fourierentwicklung der Lösung erzielt. Diese Methode erlaubt auch eine Beantwortung der ersten Frage nach dem Verhalten von Erhaltungsgrößen entlang einer geeigneten numerischen Lösung der Gleichung. Es werden weit verbreitete numerische Vefahren untersucht mit dem Ergebnis, dass Erhaltungsgrößen der exakten Lösung entlang einer numerischen Lösung wenigstens näherungsweise erhalten werden, und zwar wieder auf bemerkenswert langen Zeitintervallen.