Effective Schrödinger Equations on Submanifolds

Abstract

In this thesis the time dependent Schrödinger equation is considered on a Riemannian manifold A with a potential that localizes a certain class of states close to a fixed submanifold C, the constraint manifold. When the potential is scaled in the directions normal to C by a small parameter epsilon, the solutions concentrate in an epsilon-neighborhood of the submanifold. An effective Schrödinger equation on the submanifold C is derived and it is shown that its solutions, suitably lifted to A, approximate the solutions of the original equation on A up to errors of order epsilon^3|t| at time t. Furthermore, it is proved that, under reasonable conditions, the eigenvalues of the corresponding Hamiltonians below a certain energy coincide upto errors of order epsilon^3.

These results holds in the situation where tangential and normal energies are of the same order, and where exchange between normal and tangential energies occurs. In earlier results tangential energies were assumed to be small compared to normal energies, and rather restrictive assumptions were needed, to ensure that the separation of energies is maintained during the time evolution. The most important consequence of this thesis is that now constraining potentials that change their shape along the submanifold can be treated, which is the typical situation in applications like molecular dynamics and quantum waveguides.

In dieser Arbeit wird die zeitabhängige Schrödingergleichung auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit A mit einem Potential, das eine bestimmte Klasse von Zuständen in der Nähe einer festen Untermannigfaltigkeit C lokalisiert, betrachtet. Skaliert man das Potential in den zu C normalen Richtungen mit einem kleinen Parameter Epsilon, konzentrieren sich die Lösungen in einer Epsilon-Umgebung von C. Es wird eine effektive Schrödinger-Gleichung auf der Untermannigfaltigkeit C hergeleitet und gezeigt, dass deren Lösungen, in geeigneter Weise nach A geliftet, die Lösungen der ursprünglichen Gleichung auf A zur Zeit t bis auf Fehler der Ordnung Epsilon^3|t| approximieren. Weiterhin wird bewiesen, dass die Eigenwerte der zugehörigen Hamilton-Operatoren unterhalb einer bestimmten endlichen Energie unter vernünftigen Bedingungen bis auf Fehler der Ordnung Epsilon^3 übereinstimmen.

Diese Resultate gelten in der Situation, wo tangentiale und normale Energien von der gleichen Ordnung sind und Austausch zwischen diesen Energien auftritt. In früheren Resultaten wurde angenommen, dass die tangentialen im Vergleich zu den normalen Energien klein sind, und so waren ziemlich restriktive Annahmen nötig, um sicherzustellen, dass die Separation der Energien während der Zeitentwicklung aufrecht erhalten bleibt. Die wichtigste Konsequenz der vorliegenden Arbeit ist, dass nun einschränkende Potentiale zugelassen werden können, die entlang der Untermannigfaltigkeit variieren, was der typische Fall in Anwendungen auf Moleküldynamik und Quanten-Wellenleiter ist.