Linear Oscillations of Compact Stars in the Cowling Approximation

Abstract

During their evolution, relativistic stars may undergo oscillations which can become unstable under certain conditions. Newly born neutron stars are expected to oscillate wildly during their creation shortly after a supernovae collapse. They are also expected to oscillate if they are members of binary systems and there is tidal interaction or mass and angular momentum transfer from the companion star. Rotation strongly affects these oscillations and perturbed stars can become unstable if they rotate faster than some critical velocities. During these oscillatory phases of their lives, compact stars emit copious amounts of gravitational waves which together with viscosity tend to suppress the oscillations. These oscillations are divided into distinct families according to the restoring force; each of these classes providing valuable information about the stars interior. It is therefore of particular interest to investigate pulsations of relativistic objects. During the last two decades, these studies have become even more important due to the relations of the oscillations and instabilities to the emission of gravitational waves and the possibility of getting information about the stellar parameters (mass, radius, equation of state) by the proper analysis of the oscillation spectrum. Still, all these studies were mainly dealing with non-rotating stars, because the combination of rotation and general relativity made both the analytic and numerical studies extremely involved. This led to certain approximations in studying rotating stars in general relativity; the most obvious of them is probably the restriction to small rotation rates which has also been used extensively in the Newtonian theory of stellar oscillations. Although most of our understanding on the oscillations of relativistic stars is due to perturbative studies, recently it became possible to study stellar oscillations using evolutions of the non-linear equations of motion for the fluid. Finally, differential rotation is another key issue that is believed to play an important role in the dynamics of nascent neutron stars. Actually it is associated with dynamical instabilities both for fast and slowly rotating neutron stars and affects the onset of secular instabilities; still it has not yet been studied extensively and remains an open issue. Since rotational instabilities are typically connected with fast rotating stars, it is of great importance to study the oscillations of this type of objects. As a first step one can drop the slow rotation-approximation but freeze the spacetime perturbations or in the best case to freeze the radiative part of these perturbations. This was the approach used up to now for most of the studies of the oscillations of fast rotating relativistic stars either in perturbative approaches or in non-linear (but axisymmetric) cases. In this PhD-thesis we will present a new approach based on 2D evolution of the perturbation equations which seems to be promising for the study of the oscillations and instabilities of fast rotating neutron stars. This is the first study of its kind; earlier 2D perturbative studies have been done either in Newtonian theory or in reduction to an eigenvalue problem. The advantage of this method is that can be easily extended to include differential rotation or the perturbations of the spacetime. On the other hand it provides a robust tool in studying the onset of rotational instabilities in fast rotating neutron stars while as it has been demonstrated here one can get easily results for realistic equations of state which is vital for developing gravitational wave asteroseismology.

Im Laufe ihres Evolutionszyklus können kompakte relativistische Objekte Instabilitäten unterworfen sein, die letztendlich zu Schwingungen des gesamten Sternes führen. So oszillieren beispielsweise neu enstandene Neutronensterne kurz nach ihrer Entstehung in einer Supernova-Explosion. Auch als Mitglied in einem kompakten Binärsystem kann es zu Schwingungen kommen, falls der enge Abstand zum Begleitstern zu Gezeitenkräften und dem damit verbundenen Austausch von Masse und Drehimpuls führt. Die Rotation dieser Objekte beeinflusst zusätzlich die zu erwartenden Oszillationsfrequenzen und überschreitet die Winkelgeschwindigkeit des Sterns einen bestimmten kritischen Wert, wird der ganze Stern dynamisch instabil. Abhängig von der Art der rückwirkenden Kraft werden Sternoszillationen in verschiedene Klassen unterteilt; jede von ihnen enthält wertvolle Informationen über das Sterninnere; einen Bereich also, den man mit anderen Mitteln nur schwer untersuchen kann. Es ist deshalb von besonderem Interesse, eben diese Schwingungen hochrelativistischer Objekte zu untersuchen. Im Laufe der letzten etwa 20 Jahre sind solche Untersuchungen immer wichtiger geworden. Gegenwärtig werden große Anstrengungen unternommen, erstmals Gravitationswellen direkt nachzuweisen. Instabil schwingende Neutronensterne sind ein möglicher Kandidat für diesen Nachweis und die Analyse der von ihnen erhaltenen Gravitationsstrahlung liefert grundlegende Informationen über wichtige Parameter wie etwa Masse, Radius und die genaue Form der Zustandsgleichung supranuklearer Materie. Die meisten dieser Studien gehen jedoch von nichtrotierenden Sternen aus, da die Kombination von Rotationseffekten und Allgemeiner Relativitätstheorie sowohl analytisch als auch numerisch sehr schwer zu behandeln ist. Es wurden deshalb im Laufe der Zeit verschiedene Näherungen eingeführt; am naheliegendsten ist vermutlich die Beschränkung auf kleine Winkelgeschwindigkeiten. Dies ist eine Approximation, die sehr häufig in der Newtonschen Theorie von Sternschwingungen Anwendung findet. Obwohl der Großteil unseres Wissens über die Oszillationen kompakter Objekte auf linearen Störungsrechnungen basiert, ist es in Einzelfällen auch gelungen, die vollen nichtlinearen, relativistischen Gleichungen der Hydrodynamik numerisch zu lösen. Außerdem wird auch daran gearbeitet, Effekte der differentiellen Rotation zu berücksichtigen; gerade für neu entstandene Neutronensterne ist dies von besonderer Bedeutung. Differentielle Rotation beeinflusst das instabile Verhalten sowohl langsam als auch schnell rotierender Neutronensterne, wurde bisher jedoch nicht ausführlich genug behandelt und ist momentan ein zum Großteil ungelöstes Problem. Da dynamische Instabilitäten meist in Verbindung mit schnell rotierenden Neutronensternen auftreten, ist es von großem Interesse, die verschiedenen Oszillationen gerade diesen Types genauer zu untersuchen. Als ersten Schritt kann man dabei die schon weiter oben erwähnte Einschränkung auf kleine Winkelgeschwindigkeiten fallen lassen und gleichzeitig die dynamische Entwicklung der Raumzeit im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie vernachlässigen. Dies war bisher auch der Ansatz für die meisten Untersuchungen der Schwingungen schnell rotierender Neutronensterne, entweder auf störungstheoretischer Grundlage oder im nicht-linearen, axialsymmetrischen Fall. In der vorliegenden Doktorarbeit wird eine neue Methode vorgestellt, welche die 2D Zeitentwicklungsgleichungen direkt numerisch integriert. Dies ist die erste Untersuchung ihrer Art; frühere 2D Störungsrechnungen wurden entweder vollständig innerhalb der Newtonschen Theorie ausgeführt oder durch einen harmonischen Ansatz auf ein Eigenwertproblem reduziert. Der Vorteil des neuen Verfahrens liegt darin, daß er ohne große Probleme auf differentielle Rotation und die dynamische Entwicklung der Raumzeit ausgeweitet werden kann. Auf der anderen Seite steht nun erstmals ein Werkzug zur Verfügung, um Rotationsinstabilitäten in schnell rotierenden Neutronensternen zu untersuchen; eine Anwendung, die gerade im Hinblick auf die Gravitationswellen-Asteroseismologie von besonderer Bedeutung ist.