Lösung der Dyson-Schwinger-Gleichungen des Hamilton-Zugangs zur Yang-Mills-Theorie in Coulomb-Eichung

Abstract

Im Rahmen dieser Arbeit wird die Yang-Mills-Schrödingergleichung untersucht, die sich aus der Minimierung der Vakuum-Energiedichte in Coulomb-Eichung ergibt. Dazu wird ein Ansatz für das Vakuum-Wellenfunktional verwendet, welcher durch das exakt bekannte Wellenfunktional der Quantenelektrodynamik motiviert ist. Das Wellenfunktional ist per Konstruktion singulär am Gribov-Horizont und besitzt im Exponenten einen Variationskern, der die Bedeutung der Gluonenergie besitzt. Aus der Extremalforderung, dass die Vakuum-Energiedichte stationär bezüglich einer Variation nach diesem Variationskernel sein soll, folgen die sogenannten Dyson-Schwinger-Gleichungen: ein Satz von gekoppelten Integralgleichungen für den Gluon- und Geistpropagator, sowie für die Krümmung im Raum der Eichorbits. Diese Gleichungen wurden im Laufe der letzten Jahre hergeleitet, analytisch in bestimmten Näherungen untersucht und erste numerische Resultate spezieller Lösungen wurden erzielt.

Besonderes Interesse fand dabei stets der Fall, dass der Geistpropagator die sogenannte Horizont-Bedingung erfüllt, also dass der Geistformfaktor Infrarot-divergent ist. Allerdings fand man in diesem Fall sowohl im Rahmen der Infrarot-Analyse als auch numerisch, dass das voll gekoppelte System keine selbstkonsistente Lösung im Rahmen der verwendeten Trunkierung auf Zweischleifen-Niveau in der Energie besitzt. Erst durch Einsetzen des perturbativen Geist-Propagators in der Coulomb-Energie konnte ein selbstkonsistent lösbares System hergeleitet werden. Dieses System besitzt, so besagt die Infrarot-Analyse, zwei verschiedene Lösungsäste im Infraroten, die sich durch die Infrarotexponenten der Formfaktoren unterscheiden. Die schwächer divergente Lösung konnte bereits in unserer Gruppe numerisch gefunden werden, die stärker divergente Lösung, welche in einem linear ansteigenden statischen Quark-Potential resultiert, jedoch nicht.

Gegenstand des ersten Teiles der vorliegenden Arbeit ist die Weiterentwicklung des Verständnisses dieses Systems. Insbesondere präsentieren wir ein neues Renormierungsschema, das sich durch die Eliminierung eines bis dahin verwendeten, aber nun als spurios erkannten Renormierungsparameters auszeichnet. Das derart neu formulierte Integralgleichungssystem wird unter Verwendung von verbesserten numerischen Methoden mit stark erhöhter Präzision gelöst. Dabei haben wir erstmals die infrarot-divergente Lösung gefunden, die zu einem streng linear ansteigenden statischen Quarkpotential führt. Mit dieser Lösung erhalten wir eine laufende Kopplung, die mit hoher Präzision den analytisch vorhergesagten Infrarot-Fixpunkt besitzt.

Weitere numerische Untersuchungen im Falle des voll gekoppelten Systems ohne Verwendung der Horizontbedingung werden vorgestellt. Dabei bestätigen wir das analytisch vorhergesagte Resultat numerisch, dass dieses System nicht in Übereinstimmung mit der Horizont-Bedingung gebracht werden kann. Neuartig ist jedoch, dass zumindest abschnittsweise, wenn auch nicht bis zu Impulsen identisch Null, in gewisser Näherung ein linear ansteigendes Quark-Potential gefunden werden kann.

Im zweiten großen Teil dieser Arbeit werden die neu erzielten Resultate verwendet, um den 't Hooft-Loop zu berechnen. Beim 't Hooft-Loop handelt es sich um einen (Un-)Ordnungsparameter des Confinement-Phasenübergangs der Quantenchromodynamik, der sich dual zum Wilson-Loop verhält. Eine in letzter Zeit gefundene analytische Darstellung des 't Hooft-Loop-Operators in Kontinuums-Yang-Mills-Theorie wird analytisch untersucht und numerisch berechnet. Dabei können wir zeigen, dass der 't Hooft-Loop ein Umfangsgesetz besitzt und damit Confinement anzeigt, falls der relevante Renormierungsparameter auf den Wert gesetzt wird, der zur minimalen Energie gehört. Auf diese Art schränken wir die Freiheitsgrade bei der Wahl der Renormierungsparameter der Dyson-Schwinger-Gleichungen weiter ein, sodass nur ein freier Renormierungsparameter übrig bleibt.

In this work we examine the Yang-Mills-Schrödinger equation, which is a result from minimizing the vacuum energy density in Coulomb gauge. We use an ansatz for the vacuum wave functional which is motivated by the exact wave functional of quantum electrodynamics. The wave functional is by construction singular on the Gribov horizon and has a variational kernel in the exponent which represents the gluon energy. We derive the so-called Dyson-Schwinger-equations from the variational principle, that the vacuum energy density is stationary under variation with respect to the variational kernel. These Dyson-Schwinger-equations build a set of coupled integral equations for the gluon and ghost propagator, and for the curvature in gauge orbit space. These equations have been derived in the last few years, have been examined analytically in certain approximations, and first numerical results have been obtained.

The case of the so-called horizon condition, which means that the ghost form factor is divergent in the infrared, has always been of special interest. But is has been found in certain approximations analytically as well als numerically that the fully coupled system has no self-consisten solution within the employed truncation on two-loop level in the energy. But one can obtain a solvable system by inserting the bare ghost-propagator into the Coulomb equation. This system possesses two diffent kind of infrared-divergent solutions which differ in the exponents of the power laws of the form factors in the infrared. The weaker divergent solution has previously been found, but not the stronger divergent solution.

The subject of this work is to develop a deeper understanding of the presented system. We present a new renormalization scheme which enables us to reduce the number of renormalization parameters by one. This new system of integral equations is solved numerically with greatly increased precision. Doing so we found the stronger divergent solution for the first time, which produces a lineary rising static quark potential. We also obtain a running coupling which shows the correct infrared fixpoint with very high precision.

Further numerical studies were made for the fully coupled system without horizon condition. We confirm the analytically predicted result that the system cannot be solved using the horizon condition. But it is a noval result that we can obtaion solutions which show for a certain range (but not for arbitrarily large distances) a linearly rising static quark potential.

In the last large part of this work we use the newly obtained results to calculate the 't Hoof loop which is a (dis-)order parameter of the confinement phase transition of Yang-Mills theory. We eximane analytically and compute numerically a continuum representation for the 't Hooft loop operator that has been given recently. We can show that the 't Hooft loop shows a perimeter law and thus indicates confinement if the relevant renormalization parameter is set to the value representing the minimal vacuum energy. Thus we further reduce the number of renormaliziation parameters in the Dyson-Schwinger-equations by one.