Modeling, Analysis, and Numerics in Electrohydrodynamics

Abstract

The main subject of this thesis is to analyze the incompressible Navier-Stokes-Nernst-Planck-Poisson system for bounded domains. Such a system is used as a model in electrohydrodynamics or physicochemical models. First, we verify existence of weak and strong solutions. Moreover, we are able to characterize the weak solutions by an energy and an entropy law. The concentrations in the Nernst-Planck equations additionally are non-negative and bounded. These results motivate to construct convergent space-time discretizations based on low order finite elements, where solutions of the discrete problem preserve the characteristic properties from the continuous context.

For this purpose, we first introduce an energy based and an entropy based approximation for the simpler Nernst-Planck-Poisson sub-system which is also called the van Roosbroeck equations in the semiconductor theory. The main focus is to study qualitative properties of the two discretization strategies at finite discretization scales, like conservation of mass, non-negativity, discrete maximum principle, decay of discrete energies and entropies to study long-time asymptotics. The energy based scheme uses the M-matrix property to prove non-negativity and boundedness of iterates. Here, we have to assume more regular initial data in order to verify a perturbed entropy law. This deficiency for the entropy behavior is resolved by an entropy based scheme allowing for an entropy inequality without any additional assumptions. However, in turn, the latter scheme suffers from weaker results, such as quasi non-negativity, and the lack of a discrete maximum principle.

These results suggest to follow the energy based approach for the coupled incompressible Navier-Stokes-Nernst-Planck-Poisson system. The main obstacle here is the lack of regularity of velocity fields from the Navier-Stokes equations which makes the verification of the M-matrix property in the Nernst-Planck-Poisson part more difficult. We therefore regularize the discrete momentum equation by an additional term such that the incompressible Navier-Stokes equations arise as the limit of the discrete problem. Main results then include non-negativity, conservation of mass, and a discrete maximum principle for concentrations, and a discrete energy and (in two dimensions) a discrete entropy law for iterates which solve a nonlinear algebraic problem: A fixed-point scheme is introduced for both, theoretical and practical purposes to solve the nonlinear problem together with an appropriate stopping criterion. Overall convergence of solutions to weak solutions of the incompressible Navier-Stokes-Nernst-Planck-Poisson equations is shown. We conclude with the verification of optimal convergence rates for a suggested time-splitting scheme whose iterates converge to (locally existing) strong solutions of the electrohydrodynamic system.

At the end we compare the energy based scheme and the splitting scheme by numerical experiments.

In dieser Arbeit werden unter den Aspekten der Modellierung, Analysis, und Numerik die grundlegenden elektrohydrodynamischen Gleichungen im Fall wässriger Lösungen untersucht. Diese Gleichungen werden hergeleitet und notwendige Annahmen für deren Gültigkeit spezifiziert. Der analytische Teil der Arbeit verifiziert die Existenz von schwachen und starken Lösungen, für die ein Energie- und Entropieprinzip nachgewiesen werden; zusätzlich sind die Lösungen der Nernst-Planck Gleichungen beschränkt und nicht-negativ.

Das Ziel der Arbeit ist es nun, diese charakteristischen Eigenschaften der Lösungen aus dem kontinuierlichen Kontext ins Diskrete zu übertragen mithilfe einer raumzeitlichen Diskretisierung, die finite Elemente niedriger Ordnung verwendet. Dafür führen wir ein energie- und ein entropiebasiertes Verfahren für das Nernst-Planck-Poisson Teilsystem ein. Die Verifikation der M-Matrix Eigenschaft einer Fixpunkt-Iteration zur Lösung der diskreten Nernst-Planck Gleichungen liefert die Nicht-Negativität und die Beschränktheit der zugehörigen Lösungen. Anschliessenden verifizieren wir ein diskretes Energie- und Entropieprinzip. Da das Entropiegesetz leicht gestört ist, untersuchen wir ein zweites entropiebasiertes Verfahren, welches ein ungestörtes Entropieprinzip ermöglicht. Jedoch bekommen wir nur noch Quasi-Nicht-Negativität der Konzentrationen, und ein diskretes Maximumprinzip fehlt.

Wegen seiner stärkeren Resultate erweitern wir das energiebasierte Verfahren auf das ganze elektrohydrodynamische System und können damit alle charakteristischen Eigenschaften schwacher Lösungen auf die finiten Elemente Lösungen übertragen. Die Hauptresultate sind damit Nicht-Negativität, Massenerhaltung, und die Beschränktheit der Konzentrationen, und ein diskretes Energie- und (in zwei Dimensionen auch) ein diskretes Entropiegesetz für die Iterierten, welche ein nichtlineares algebraisches Problem lösen: Wir verwenden einen Fixpunktalgorithmus zusammen mit einer geeigneten Abbruchbedingung um sowohl theoretische als auch numerische Resultate zu erhalten. Es wird die Konvergenz der so erhaltenen Lösungen gegen schwache Lösungen der inkompressiblen Navier-Stokes-Nernst-Planck-Poisson Gleichungen gezeigt. Anschliessend verifizieren wir optimale Konvergenzraten für ein effizientes Splitting-Verfahren, dessen Iterierte gegen starke Lösungen konvergieren.

Am Ende vergleichen wir mittels numerischer Experimente den energiebasierten Fixpunktalgorithmus mit dem Splitting-Verfahren.