Positive semigroups for queueing theory and reliability theory

Abstract

We discuss a queueing model, namely, in the usual notation, the $M/M^B/1$ model, and two reliability models, by viewing them as abstract Cauchy problems. In all three cases, our procedure is as follows: We show well-posedness of the problem and use the theory of $C_0$-semigroups and an analysis of the spectrum of the respective generator to determine the asymptotic behaviour of the solutions. We obtain convergence to a steady-state solution in all three cases. In two of these cases, the semigroup is irreducible and the convergence is in norm. In the thrid case, the situation is less favourable and we only obtain convergence in the almost-weak sense.

Wir diskutieren in dieser Arbeit ein Warteschlangen-Modell, und zwar, in der üblichen Notation, das M/M^B/1 Modell, sowie zwei Zuverläsigkeitsmodelle, welche jeweils durch abstrakte Cauchyprobleme beschrieben werden. Die in allen drei Fällen gemeinsame Vorgehensweise ist so, dass die Wohlgestelltheit des jeweiligen Cauchyproblems gezeigt wird. Danach wird über eine Spektralanalyse des Generators die Asymptotik der Lösungen bestimmt. Wir erhalten jeweils "steady-state solutions", gegen die die Lösungen für t\to\infty konvergieren. In den ersten beiden Fällen ist die Halbgruppe irreduzibel und die Konvergenz ist in der Norm. Im letzten Fall ist Irreduzibilität nicht gegeben. Es gelingt aber der Nachweis des fast-schwachen Konvergenz.