Stability of operators and Co-semigroups

Abstract

In this work we consider the powers T of a linear bounded operator T and strongly continuous operator semigroups (T(t)) on a Banach space X. We look for conditions assuring "stability", i.e., convergence to zero, with respect to a natural topology. For this purpose we proceed as follows.

In Chapter 1 we give an overview on (nontrivial) functional analytic methods, as for example the Jacobs–Glicksberg–de Leeuw decomposition theorem, spectral mapping theorems and an inverse Laplace transform.

In Chapter 2 we discuss the "discrete time" case and first describe polynomial and power boundedness of an operator T. In Section 2 the stability with respect to the strong operator topology is treated. Weak and almost weak stability is studied in Sections 3, 4 and 5 including abstract characterisations and concrete examples. We show in particular that a "typical" contraction as well as a "typical" unitary or isometric operator on an infinite-dimensional separable Hilbert space is almost weakly but not weakly stable.

We proceed analogously in Chapter 3 for a Co-semigroup(T(t)). We first characterise boundedness and polynomial boundedness in terms of the cogenerator or the resolvent of the generator. We then shortly discuss exponential stability in Section 2. For strongly stable semigroups the classical theorems of Foias–Sz.-Nagy and Arendt–Batty–Lyubich–Vu are cited and supplemented. In Sections 4–6 we study weakly and almost weakly stable semigroups. Together with various (and different) characterisations we give new concrete and abstract examples (in form of category theorems).

In dieser Arbeit betrachten wir die Potenzen eines linearen beschränkten Operators T und stark stetige Operatorhalbgruppen (T(t)) auf einem Banachraum X. Dafür suchen wir nach Bedingungen, die "Stabilität" garantieren, d.h. Konvergenz gegen Null, bezüglich einer der natürlichen Topologien. Dazu gehen wir wie folgt vor.

In Kapitel 1 stellen wir die (nichttrivialen) funktionalanalytischen Methoden zusammen, wie z.B. das Jacobs–Glicksberg–deLeeuw Zerlegungstheorem, spektrale Abbildungssätze und eine inverse Laplacetransformation.

In Kapitel 2 diskutieren wir den "zeitdiskreten" Fall und beschreiben zuerst polynomiale Beschränktheit und Potenzbeschränkheit eines Operators T. In Abschnitt 2 wird die Stabilität bezüglich der starken Operatortopologie behandelt. Schwache und fast schwache Stabilität wird in den Abschnitten 3, 4 und 5 untersucht und durch abstrakte Charakterisierungen und konkrete Beispiele erläutert. Wir zeigen insbesondere, dass eine "typische" Kontraktion sowie ein "typischer" unitärer oder isometrischer Operator auf einem unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraum fast schwach, aber nicht schwach stabil ist.

Analog gehen wir in Kapitel 3 für eine Co-Halbgruppe (T(t)) vor. Zunächst wird Beschränktheit bzw. polynomiale Beschränktheit über die Resolvente des Generators oder den Kogenerator charakterisiert. Ein kurzes Resumé über gleichmäßige Stabilität folgt in Abschnitt 2. Für stark stabile Halbgruppen werden die klassischen Sätze von Foias–Sz.-Nagy and Arendt–Batty–Lyubich–Vu zitiert und ergänzt. In den Abschnitten 4 bis 6 behandeln wir schwach stabile und fast schwach stabile Halbgruppen. Neben unterschiedlichen Charakterisierungen geben wir neue konkrete und abstrakte Beispiele (in Form von Kategoriensätzen) an.