Developing a code for general relativistic hydrodynamics with application to neutron star oscillations

Abstract

The aim of this work is the development of a code for general relativistic simulations of ideal fluids on arbitrary curved spacetimes in up to three dimensions. The numerical method is based on a High Resolution Shock Capturing (HRSC) algorithm. The HRSC method was modified in a way such that pressure and gravitational forces are computed consistently. Because of this, a higher accuracy is achieved for quasi-stationary, isentropic systems. In contrast to linearised schemes, the method is still applicable in general scenarios. The new method uses a new formulation of the general relativistic hydrodynamic evolution equations, which I developed for this purpose. The code has been tested successfully on a nonrotating and a rigidly rotating neutron star model, using the Cowling approximation, i.e. with a time-independent gravitational field. In particular, I conducted extensive convergence tests. By perturbing the initial data, I excited seven different oscillation modes of both star models, and determined the corresponding frequencies and eigenfunctions by means of a Fourier analysis. A comparison with results of other groups exhibits a good agreement. For example the frequencies agree better than 1.7 %, for all but one mode even better than 0.8 %. The treatment of stellar surfaces, i.e. fluid-vacuum boundaries, turned out problematic. To deal with this problem, I created a new method, which has some advantages, but cannot be considered the final solution. Using a special testbed similar to a neutron star, but without vacuum, it could be shown that the numerical errors are caused mainly by the treatment of the stellar surface. It is possible to use the code in combination with another code for the evolution of the spacetime, which takes the distribution of matter as input. This allows for general relativistic simulations without any approximations. First tests using the nonrotating star model gave satisfactory results. The extracted oscillation frequencies agreed better than 1.2 % with values available in the literature. However, there are still some open questions preventing a final judgement on the quality of this results.

Im Zuge dieser Doktorarbeit wurde ein Programm zur numerischen Simulation idealer Flüssigkeiten innerhalb beliebiger gekrümmter Raumzeiten in einer bis drei Dimensionen im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie erstellt. Das numerische Verfahren basiert auf einer HRSC (High Resolution Shock Capturing) Methode. Diese wurde dahingehend modifiziert, daß Druck- und Gravitationskräfte konsistent berechnet werden. Dadurch wird eine höhere Genauigkeit im Falle quasi-stationärer, isentroper Systeme erreicht, ohne dabei den Anwendungsbereich einzuschränken, wie dies z.B. beim linearisierten Ansatz der Fall wäre. Ferner wurde eine Reformulierung der allgemeinrelativistischen hydrodynamischen Zeitentwicklungsgleichungen hergeleitet, welche das Fundament des neuen numerischen Verfahrens bildet. Am Beispiel eines nichtrotierenden und eines starr rotierenden stationären Neutronensternmodells unter Verwendung der Cowling-Näherung (d.h. mit zeitunabhängigem Gravitationsfeld) wurde das Verfahren erfolgreich getestet, insbesondere wurden umfangreiche Konvergenztests durchgeführt. Durch Störung der Anfangsdaten wurden jeweils sieben verschiedene Schwingungsmoden angeregt, und mit Hilfe von Fourieranalysen deren Frequenzen und Eigenfunktionen bestimmt. Ein Vergleich mit Ergebnissen anderer Arbeiten ergab eine gute Übereinstimmung, beispielsweise stimmen die Frequenzen besser als 1.7 %, überein, bis auf einen Fall besser als 0.8 %. Als problematisch erwies sich die Behandlung der Sternenoberfläche, d.h. des Übergangs zum Vakuum. Hierzu wurde eine neue Methode entwickelt, die zwar eine Verbesserung, aber noch keine endgültige Lösung des Problems darstellt: Mit Hilfe eines speziell entwickelten Testproblems ähnlich zum Neutronenstern, jedoch ohne Gebiete mit Vakuum, konnte gezeigt werden, daß die numerischen Fehler zum größten Teil durch die Behandlung der Sternoberfläche verursacht werden. Es besteht die Möglichkeit, das Programm mit einem weiteren Programm zur Zeitentwicklung der Raumzeit bei gegebener Materieverteilung zu koppeln, so daß allgemeinrelativistische Simulationen ohne einschränkende Näherungen durchgeführt werden können. Erste derartige Simulationen eines nichtrotierenden Neutronensterns verliefen erfolgversprechend. Die extrahierten Frequenzen stimmen besser als 1.2 % mit verfügbaren Literaturwerten überein, allerdings sind vor einer abschließenden Bewertung noch einige offene Fragen zu klären.