Semigroups applied to transport and queueing processes

Abstract

In dieser Arbeit wird ein Transportproblem auf Netzwerken und zwei Probleme aus der Theorie der Warteschlangen mit halbgruppentheoretischen Methoden behandelt.

Im ersten Kapitel wird der abstrakte Rahmen erläutert, in den alle drei Problemstellungen passen.

Das zweite Kapitel befasst sich mit einem Transportproblem auf Netzwerken. Das Netzwerk wird durch einen gerichteten und gewichteten Graphen dargestellt. Einzelne Teilchen bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Kanten, jedoch können unterschiedliche Teilchen unterschiedliche Geschwindigkeiten haben. In den Knoten werden die Teilchen gestreut und auf die ausgehenden Kanten entsprechend ihrer Kantengewichte verteilt. Nachdem wir dieses Problem als abstraktes Cauchyproblem auf einem geeigneten Banachraum umgeschrieben haben, wird die Wohlgestelltheit bewiesen. Außerdem wird das Spektrum des zugehörigen Generators näher untersucht.

In den nächsten beiden Kapiteln diskutieren wir Probleme aus der Warteschlangentheorie. Kapitel 3 beschäftigt sich mit dem $M/M^{k,B}/1$ Warteschlangenmodell. Kapitel 4 behandelt ein einfaches Warteschlangen-Netzwerk bestehend aus zwei Servern, die durch einen Puffer endlicher Kapazität getrennt sind. Beide Fragestellungen werden in Form eines abstrakten Cauchyproblems formuliert. Danach befassen wir uns mit der Wohlgestelltheit der Probleme und untersuchen das Spektrum des jeweiligen Generators.

Abschließend wird im fünften Kapitel das asymptotische Verhalten der Lösungen der obigen Probleme besprochen. Wir zeigen, dass die zu dem Transportproblem gehörende Halbgruppe unter gewissen Bedingungen an den Graphen sowie an den Streuoperator irreduzibel ist. Außerdem beweisen wir die Irreduzibilität der Halbgruppen, die die Warteschlangenprobleme lösen. In allen oben beschriebenen Fällen wird die Konvergenz gegen ein eindimensionales Gleichgewicht gezeigt.

In this thesis we investigate a transport problem on networks as well as two problems from queueing theory using semigroup methods in all three cases.

In the first chapter we explain the abstract framework.

The second chapter deals with a transport problem on networks. The network is represented by a directed and weighted graph. Single particles move with constant velocity along the edges, but different particles can have different velocities. In the vertices the particles are scattered and distributed among the outgoing edges according to the weights of the edges. After rewriting this problem as an abstract Cauchy problem we prove well-posedness. Moreover, we investigate the spectrum of the corresponding generator in more detail.

In the following two chapters we discuss problems occurring in queueing theory. Chapter 3 is concerned with the $M/M^{k,B}/1$ queueing model. Chapter 4 deals with a simple queueing network consisting of two servers which are separated by a finite buffer. Both questions are formulated as abstract Cauchy problems and well-posedness and spectral properties of the respective generators are investigated.

Finally, in Chapter 5, the asymptotic behaviour of the solutions of the above problems is discussed. We show that the semigroup corresponding to the transport problem is irreducible under certain conditions both on the graph and on the scattering operator. We also prove irreducibility of the semigroups from the queueing problems. In all three cases convergence to a one-dimensional equilibrium is shown.