Oscillations of rapidly rotating neutron stars

Abstract

Neutron star oscillations are a good source for gravitational wave signals. We use linearized perturbation theory to describe such for neutron stars modeled by polytropic equations of state. In the limit of no rotation we adopt a spherically symmetric background and are able to confirm results of previous studies, finding an infinite spectrum of pressure driven modes at frequencies above about 2kHz as well as oscillations of the spacetime at frequencies of about 10kHz. The two groups of modes have in this case different character, with the first having even parity (polar modes) and the latter odd parity (axial modes).

For rotating stars we use an axisymmetric background, with the perturbations having a exp(i m phi)-behavior and a series of associated Legendre polynomials, describing their theta-dependence. The equations grow though now much more lengthy, and the numerical implementation becomes more difficult. We therefore adopt an approximation (so-called Cowling) that was found to give consistent and quite accurate results in no rotation, by neglecting the perturbations of the spacetime and concentrating on the fluid perturbations. By this, an eigenvalue problem is formed, solved for all possible solutions.

Next to the infinite set of pressure modes, we also found the modes driven by rotation (inertial modes). They also form an infinite set, but are confined in a frequency range dependent from the rotational frequency and the compactness of the star. The presence of a corresponding continuous spectrum could not be excluded. For values of the azimuthal index m>=2, all the inertial modes are unstable and for increasingly high m they tend to move into the range of frequencies of the pressure modes.

While pressure modes were easily identified both through their eigenfunctions as well as via their frequencies, for inertial modes the same task was more tedious. The dense frequency distribution of modes requires looking at the eigenfunctions, but these have, in this case, a complicated behavior, owing to the contribution from several ell that form the mode. Still, individual modes have been identified and could be followed for increasing resolution. Based on the characteristics of the theta-part of the velocity perturbation from other studies on the fundamental r-mode, we found a mode resembling these criteria for a slowly rotating model; its frequency --1.41 times the spin frequency of the star-- is in agreement with previous results in that regime. For a rapidly rotating neutron star model, a similar mode can still be identified, with its eigenfunction deviating though more from the expected form, and its frequency being higher (rather than lower as expected by other studies) than in slow rotation.

Despite the discoveries of general properties of the inertial mode spectrum, the identification of modes in there might still be problematic. Reason for that is the presence of the infinite set of inertial modes -- which might as well be continuous --that could even not allow the existence of the r-mode. But even if present, its behavior is probably numerically influenced by the neighboring solutions, which could even lead to misidentifying it, especially for rapid rotation. Larger memory power would allow increasing the resolution of the problem and possibly the clarification of the above questions. Numerical 3D evolution could also provide a definite answer, while a successful detection of such a mode through gravitational waves would be the final confirmation of the existence of unstable modes.

A search for a signature of a neutron star's non-radial modes in the electromagnetic spectrum the low-mass X-ray binary Circinus X-1 could not support the connection between quasi-periodic oscillations (QPOs) and quasi-normal modes, but did extend the observed range of kHz QPO frequencies to a new regime providing a unique test for QPO-models. The frequency-frequency correlations confirmed the identification of the underlying compact object as a neutron star.

Schwingungen von Neutronensterne stellen eine Quelle möglicher Gravitationswellensignale dar. Mit Hilfe linearer Störungstheorie werden solche beschrieben, von Neutronenstern die durch eine polytrope Zustandsgleichung modelliert wurden. Die Ergebnisse im nichtrotierenden Grenzfall unter sphärischer Symmetrie bestätigen frühere Studien: So fand sich eine unendliche Reihe von Druckmoden über ~2 kHz, Raumzeitmoden fallen in noch höhere Frequenzen (~10 kHz). Die zwei Gruppen von Moden sind in diesem Fall auf Grund von unterschiedlicher Parität klar getrennt.

Rotierende Sterne wurden statt in sphärischer in Achsensymmetrie untersucht, und durch kleine Auslenkungen der Form exp(i m phi) gestört. Die theta-Abhängigkeit lässt sich durch zugeordnete Legendre-Polynome, P (m, ell), beschreiben. Das führt zu deutlich komplizierteren Gleichungen und Problemen im numerischen Verfahren. Das machte es nötig, Störungen der Raumzeit für die Rechnungen zu vernachlässigen und nur Änderungen in den hydrodynamischen Zustandsgrößen zu berücksichtigen. Diese so genannte Cowling-Näherung hat sich in vorherigen Studien bereits als konsistent und relativ genau erwiesen. Damit ließ sich letztendlich ein Eigenwertproblem formen, für das alle möglichen Lösungen gesucht wurden. Neben der unendliche Reihe von Druckmoden, tauchen nun auch Trägheitsmoden auf. Ihr Anzahl ist ebenfalls unbegrenzt, ihre Frequenz ist jedoch auf einen endlichen Bereich beschränkt, der sich je nach Rotationsfrequenz und Kompaktheit des Sterns verändert. Es konnte nicht ausgeschlossen werden, dass es sich hierbei sogar um ein kontinuierliches Spektrum handelt. Ist der Wert des azimuthalen Index m größer als zwei, sind alle Trägheitsmoden instabil. Für sehr große Werte von m überlappt deren Frequenzbereich mit dem der Druckmoden.

Während Druckmoden sich sowohl über ihre Eigenfunktionen, als auch ihren Frequenzbereich leicht identifizieren lassen, konnten einzelne Trägheitsmoden nur deutlich schwerer extrahiert werden. Der geringe Abstand zwischen den Moden im Frequenzraum macht es notwendig, jeweils die Eigenfunktionen zu Hilfe zu ziehen. Die zeigen in diesem Fall jedoch ein kompliziertes Verhalten, da sich die Beiträge verschiedener ell vermischen. Nichtsdestotrotz konnten Moden identifiziert und über wachsende Auflösungen hinweg verfolgt werden. Mit Blick auf bereits bekannte Charakteristika der theta-Komponente der Geschwindigkeitsstörung konnte eine ähnliche Mode in einem langsam rotierenden Modell nachgewiesen werden. Deren Frequenz -- die 1,41-fache Rotationsrate des Sterns-- stimmt mit den Ergebnissen früherer Studien in diesem Bereich überein. Für schnell rotierende Modelle eines Neutronensterns lässt sich eine ähnliche Mode bestimmen, ihre Eigenfunktion weicht jedoch stärker vom erwarteten Verlauf ab, und auch die Frequenz ist nicht etwa niedriger (wie von andere Studien erwartet), sondern höher als bei langsamer Rotation.

Obwohl einige neue allgemeine Eigenschaften des Spektrums der Trägheits\-moden gefunden wurden, bleibt es nach wie vor problematisch, einzelne Moden zu identifizieren. Grund dafür ist die Anwesenheit einer unendlichen Anzahl von Trägheitsmoden -- möglichweise sogar eines Kontinuums --, das die r-Mode vollständig unterdrücken könnte. Doch selbst wenn sie auftritt, ist ihr Verlauf vermutlich kontaminiert durch angrenzende Lösungen. Vor allem bei schneller Rotation erschwert das die Identifikation oder macht sie vielleicht sogar unmöglich. Mehr Speicher und Rechenleistung ist nötig, um diese Fragen durch höher aufgelöste Simulationen zu klären. Vor allem dreidimensionale Zeitentwicklungsrechnungen könnten eine Antwort liefern. Endgültige Klärung brächte der Nachweis einer solchen Mode in einem Gravitationswellendetektor.

In der Auswertung des elektromagnetischen Signals aus dem kompakten Röntgenbinärsystem Circinus X-1 fanden sich keine Hinweise auf nichtradiale Neutronensternmoden, die eine Verbindung hergestellt hätten zwischen quasi\-periodischen Oszillationen (QPOs) und Quasinormalmoden. Die beobachtete Frequenzbreite der Kilohertz-QPOs konnte jedoch auf einen neuen Bereich ausgedehnt werden, der einzigartige Tests verschiedener QPO-Modelle erlaubt. Korrelationen zwischen Frequenzen von QPOs bestätigten, dass es sich bei dem zugrundeliegenden Objekt um einen Neutronenstern handelt.