Adiabatische Integratoren für hochoszillatorische Hamilton-Systeme

Abstract

Die Integration hochoszillatorischer Differentialgleichungen stellt seit langem eine numerische Herausforderung dar. In der vorliegenden Arbeit werden numerische Integratoren für hochoszillatorische Differentialgleichungen in der klassischen Mechanik entwickelt, die durch eine Hamiltonfunktion gegeben sind, in der ein beschränkendes Potential einige Bewegungsrichtungen beeinflusst. In Kapitel 1 bis 3 wird der Fall einer zeitabhängigen Hamiltonfunktion betrachtet und einige nützliche Transformationen präsentiert, durch die eine fast vollständige Trennung des Problems in langsame und schnelle Bewegungen erreicht wird. Nach einer weiteren Transformation des schnellen Subsystems in glattere, sogenannte adiabatische Variablen, werden numerische Integratoren entwickelt, die zweite Ordnung in den Positionen und einigen Impulsen erreichen. Weitere adiabatische Integratoren, die adiabatische Mittelpunktsregel und das adiabatische Magnusverfahren globaler zweiter Ordnung werden hergeleitet und analysiert. Detaillierte Fehlerbeweise zeigen die zweite Ordnung der Verfahren für signifikant größere Schrittweiten als die Periode der schnellsten Oszillationen. Dies wird an einem Fermi-Pasta-Ulam-Problem und einem Testproblem mit Fastkreuzung der Eigenfrequenzen illustriert. Eine symmetrische adaptive Schrittweitensteuerung wird präsentiert und erfolgreich auf den Fall vermiedener Kreuzungen und nichtadiabatischer Übergänge angewandt. Das gute Lange-Zeitschritt-Verhalten der adiabatischen Integratoren lässt sich auf den frequenzabhängigen Fall übertragen, indem das System zunächst erneut in adiabatische Variablen transformiert wird (Kapitel 4). Die Integratoren erreichen vergleichbare Genauigkeit, aber im Fall von Fastkreuzungen der Frequenzen zeigt das System hier ein chaotisches Verhalten (das sogenannte Takens-Chaos) und bringt neue Aspekte ins Spiel.

The integration of highly oscillatory differential equations has been a numerical challenge for a long time. In this thesis, integrators for highly oscillatory differential equations in classical mechanics are developed with the general case of Hamiltonians, where a constraining potential penalizes some directions of motion. In chapter one to three, the case of a time-dependent Hamiltonian is considered and some useful transformations are presented to reach an almost-separation of the problem into slow and fast movements. After again transforming the fast subsystem to smoother, so-called adiabatic variables, adiabatic integrators showing order two in the positions and one in some momenta are developed, and another two numerical integrators of global second order, called the adiabatic midpoint rule and the adiabatic Magnus method. Second-order error bounds with step sizes significantly larger than the almost-period of the fastest oscillations are proved and illustrated by applying the new methods to a Fermi-Pasta-Ulam-Problem and a testproblem, where an almost-crossing of frequencies takes place. An adaptive step size control is presented and successfully used in the case of almost-crossings and nonadiabatic transitions. In order to benefit again of the good long-time-step behaviour of the adiabatic integrators, the frequency-dependent case is also transformed to adiabatic variables in chapter four. The integrators show similar accuracy, but in the case of an almost-crossing of frequencies, the problem shows a chaotic behaviour (the so-called Takens chaos) and raises new aspects.