Gorenstein toric Fano varieties

Abstract

In this thesis we concern ourselves with Gorenstein toric Fano varieties, that is, with complete normal toric varieties whose anticanonical divisor is an ample Cartier divisor. These algebraic-geometric objects correspond to reflexive polytopes introduced by Batyrev in 1994. Reflexive polytopes are lattice polytopes containing the origin in their interior such that the dual polytope also is a lattice polytope. It was shown by Batyrev that the associated varieties are ambient spaces of Calabi-Yau hypersurfaces and together with their duals naturally yield candidates for mirror symmetry pairs. This has raised a lot of interest in this special class of lattice polytopes among physicists and mathematicians. It is known that in fixed dimension d there only are a finite number of isomorphism classes of d-dimensional reflexive polytopes. Using their computer program PALP Kreuzer and Skarke succeeded in classifying d-dimensional reflexive polytopes up to dimension four. They found 16 isomorphism classes for d=2, 4319 for d=3, and 473800776 for d=4.

While there are many papers devoted to the study and classification of nonsingular toric Fano varieties, in the singular case there has not yet been done so much, especially in higher dimensions. The aim of this thesis is to give a first systematic mathematical investigation of Gorenstein toric Fano varieties by thorougly examining the combinatorial and geometric properties of their convex-geometric counterparts, that is, reflexive polytopes. We would like to generalize useful tools and theorems previously only known to hold for nonsingular toric Fano varieties to the case of mild singularities and to prove classification theorems in important cases and in arbitrary dimension. Moreover we are interested in finding constraints on the combinatorics of reflexive polytopes and conjectures and sharp bounds on invariants that can explain interesting observations made in the large computer data.

This thesis is organized in six chapters. Any major chapter (3-6) starts with an introductory section, in which also an explicit list of the most important new results is contained. Furthermore the reader will find right after the introduction a summary of notation and at the end of this thesis an index as well as a comprehensive bibliography.

Diese Arbeit befasst sich mit torischen Gorenstein-Fano-Varietäten. Dabei handelt es sich um vollständige normale torische Varietäten, deren antikanonischer Divisor ein ampler Cartierdivisor ist. Diese algebraisch-geometrischen Objekte haben ihre Entsprechung in der konvexen Geometrie in der Form so genannter reflexiver Polytope. Dabei ist ein reflexives Polytop ein Gitterpolytop, das in seinem Inneren den Ursprung enthält, mit der Eigenschaft, dass das duale Polytop wiederum ein Gitterpolytop ist. Insbesondere treten reflexive Polytope immer in Paaren auf. Diese Begriffsbildung wurde erstmals von Batyrev 1994 eingeführt, als er zeigte, dass generische antikanonische Hyperflächen torischer Gorenstein-Fano-Varietäten Calabi-Yau sind und sich nach Auflösung der Singularitäten aufgrund der natürlichen Dualität reflexiver Polytope Kandidaten für Mirror-Symmetrie ergeben. Daraufhin wurde angestrebt, sämtliche reflexive Polytope im physikalisch relevanten vierdimensionalen Fall zu klassifizieren. Kreuzer und Skarke fanden schließlich mit Hilfe ihres Computerprogramms PALP 16, 4319 bzw. 473800776 nichtisomorphe zwei-, drei- bzw. vierdimensionale reflexive Polytope. Weiter ist bekannt, dass es in jeder Dimension nur endlich viele Isomorphieklassen gibt.

Während es schon einige mathematische Arbeiten gibt, die sich mit glatten torischen Fano-Varietäten beschäftigen, wurde der singuläre Fall noch nicht so intensiv untersucht, insbesondere in höheren Dimensionen. Das Ziel dieser Dissertation ist nun eine erste systematische Untersuchung torischer Gorenstein-Fano-Varietäten. Hierfür werden zunächst Methoden und Resultate über glatte torische Fano-Varietäten auf torische Fano-Varietäten mit milden Singularitäten verallgemeinert. Dabei lässt die Konzentration auf Methoden der konvexen Geometrie auch schon im glatten Fall bekannte Resultate transparenter erscheinen. Weiter ist es das Ziel, in wichtigen Fällen vollständige Klassifikationsresultate auch in höheren Dimensionen zu gewinnen. Dabei stehen durchweg die kombinatorischen und geometrischen Eigenschaften und Invarianten reflexiver Polytope im Vordergrund, für welche Einschränkungen, Abschätzungen und Vermutungen bewiesen und formuliert werden. Diese Ergebnisse liefern insbesondere auch Erklärungen für interessante Beobachtungen in der Datenbank.

Diese Arbeit besteht aus einer Einleitung, einer Liste der verwendeten Notationen, sechs Kapiteln sowie einem Index und einer ausführlichen Bibliographie. Jedes größere Kapitel besitzt eine eigene Einleitung, der eine Übersichtsliste mit Referenzen auf die wichtigsten Ergebnisse angefügt ist.