Semigroups for flows in networks

Abstract

Networks have been studied since many years with motivations from and applications to classical natural sciences. The main goal of these studies is in most cases to characterize network anatomy - that is, to give an accurate and complete description of complex systems. In this thesis, we are interested in so called dynamical graphs. Here the edges do not only link the vertices but also serve as a transmission media on which time- and space-depending processes take place. The main goal of the present work is to propose an appropriate functional analytic setting and to investigate linear transport processes or flows in networks. To do this we use sophisticated semigroup and spectral theoretical methods. In Chapter 1 we give a short overview on important notations and results from graph theory that will be used during the treatment of the functional analytic problem. We model the network by a directed graph where a substance is flowing on the edges in the given directions and redistributed in the vertices. In Chapter 2 we discuss transport processes in networks with static ramification nodes (Kirchhoff law). Using spectral theory and semigroup methods we will be able to describe precisely the asymptotic behavior of the corresponding semigroup, that is, of the process in the network. Depending on a number theoretical condition on the flow velocities, either the process converges uniformly towards a periodic flow whose period is determined by the structure of the graph, or it converges (in the strong operator topology) to an equilibrium. We then investigate in Chapter 3 transport processes, where in the ramification nodes a dynamic condition with a feedback-control in the vertices is specified. If the corresponding semigroup is positive, the stability of the system depends on the spectral bound of the so-called adjacency matrix of the graph obtained by adding the "imaginary edges'' to the original graph, along those the feedback-control takes place. The semigroup converges towards an equilibrium if the joint structure of the original and the "imaginary'' graph is strongly connected. In the final Chapter 4 we discuss examples on the Petersen and Herschel graph for the situation studied in Chapter 2 and compute the convergence speed towards the periodic flow. We also investigate how this depends on the distribution weights in the vertices.

Netzwerke sind seit mehreren Jahren wichtige Objekte mathematischer Untersuchungen, wobei deren Ziel oft nur die Beschreibung der Netzwerkstruktur ist. In der vorliegenden Arbeit wollen wir dagegen dynamische Graphen, insbesondere lineare Transportprozesse (oder Flüsse) in Netzwerken untersuchen. Zu diesem Zweck stellen wir den funktionalanalytischen Rahmen auf und benutzen halbgruppen- und spektraltheoretische Methoden. Im ersten Kapitel geben wir eine kurze Übersicht über die wichtigsten Notationen und Sätze aus der Graphentheorie, die zur Behandlung des funktionalanalytischen Modells nötig sind. Wir modellieren das Netzwerk durch einen gerichteten Graphen, auf dessen Kanten eine Substanz in die angegebenen Richtungen fliesst und in den Ecken neu verteilt wird. Im zweiten Kapitel betrachten wir Transportprozesse in Netzwerken mit statischen Verzweigungsknoten (Kirchhoffsche Regeln). Mit Hilfe von spektral- und halbgruppentheoretischen Methoden können wir präzise das asymptotische Verhalten von der Halbgruppe - d.h., von dem Prozess in dem Netzwerk - beschreiben. Abhängig davon ob eine zahlentheoretische Bedingung für die Flussgeschwindigkeiten auf den Kanten besteht oder nicht, konvergiert der Prozess entweder gleichmässig gegen einen periodischen Fluss, dessen Periode von der Graphenstruktur bestimmt ist; oder konvergiert er in der starken Operatortopologie gegen ein Gleichgewicht. Wir untersuchen dann im Kapitel 3 Transportprozesse, bei denen in den Verzweigungsknoten dynamische Bedingungen mit einer Feedback-Kontrolle in den Ecken vorgeschrieben sind. Wenn die zugehörige Halbgruppe positiv ist, liegt deren Stabilität an der Negativität der Spektralschranke der sog. Adjazenzmatrix von einem Graphen, der dadurch entsteht, dass wir zu dem originellen Graphen die "imaginären Kanten'' addieren, entlang denen die Feedback-Kontrolle wirkt. Die Halbgruppe konvergiert gegen ein Gleichgewicht, wenn die gemeinsame Struktur des originellen und des "imaginären'' Graphen stark zusammenhängend ist. Im letzten Kapitel erörtern wir Beispiele für die Situation von Kapitel 2 auf dem Petersen und Herschel Graph, und wir berechnen die Konvergenzgeschwindigkeit gegen den periodischen Fluss. Wir untersuchen auch, wie diese von den Verteilungsgewichten in den Ecken abhängt.