Quark properties, topology and confinement from Lattice Gauge Theory

Abstract

In this diploma thesis different topological objects are examined using Lattice Gauge Theory. As a first part the probability density of low-lying eigenmodes of the hermitian Wilson-Dirac operator H(kappa)= gamma_5 D_W(kappa) and its connection to topology is examined. Comparisons in position and size between eigenvectors, topological charge and action density are made. This is done for standard Monte-Carlo generated SU(3) background fields and for single instanton background fields. Both hot and cooled SU(3) background fields are considered. Sizes and positions of eigenmode and topological charge density are compared by fitting an instanton model. Visualisations of topological charge, action and eigenmode densities are provided. It is shown that not only zero modes, but all low-lying eigenmodes of the hermitian Wilson-Dirac operator are strongly correlated to topological objects for bare quark masses m_0 with 0< m_0 < 2. These objects can be instantons or topological fluctuations. For all m_0, eigenmodes of hot SU(3) configurations are seen to display strong correlations to objects, which can be identified in the topological charge density of twelve sweep cooled configurations. The objects in the eigenmode density are found to have roughly the same size as the corresponding topological object. For such configurations the twenty lowest eigenmodes are seen to have strong correlations to topological objects with only little broadening for higher eigenmodes. Eigenmodes of twelve sweep cooled configurations are found to have a different behaviour. They are strongly correlated to topological objects for small m_0 and weakly correlated with such objects for large m_0.

In the second part the connection between center vortices and confinement is examined. To identify thin center vortices Monte-Carlo generated SU(3) background fields are gauge fixed to Maximal Center Gauge (MCG) by maximising the mesonic gauge condition. The background fields considered are created with a three-loop improved action. Vortices are then identified by finding the closest center element Z_mu(x) for each link U_mu(x) and calculating the center flux for each plaquette. It is shown that the vortex density in physical units is independent of the lattice spacing a. This suggests that center vortices identified by MCG gauge fixing are physical. To test the confining properties of center vortices the static quark-antiquark potential is considered for full SU(3), vortex-only and vortex removed configurations. The influence of the gauge condition on this procedure is tested by implementation of the ideal gauge condition (ICG) as a comparison. It is shown that a vortex-only theory is confining, whereas the corresponding vortex-removed theory is non-confining, i.e. the string tension vanishes. The string tension of the vortex-only theory is found to be roughly 62% of the full SU(3) string tension for MCG vortices and 58% for ICG vortices. It is suggested that the mesonic gauge condition is a good approximation to the ideal gauge condition. Ideas of how to solve the missing string tension puzzle are presented.

Diese Diplomarbeit untersucht topologische Objekte im Rahmen der Gittereichtheorie.Ein besonderer Augenmerk wird dabei auf zwei Arten solcher Objekte gelegt, Instantonen im ersten Teil der Arbeit und Vortizes im zweiten Teil. Genauer gesagt beschäftigt sich der erste Teil dieser Arbeit mit der Wahrscheinlichkeitsdichte von niedrigen Eigenmoden des hermitschen Wilson-Dirac Operators H(kappa)= gamma_5 D_W (kappa) und ihrer Verbindung zur Topologie. Position und Ausdehnung der Eigenmodendichte und der topologischen Ladungsdichte sowie der Wirkungsdichte werden verglichen. Diese Vergleiche werden für SU(3) Hintergrundfelder, die mit einem Monte-Carlo Verfahren hergestellt wurden, und für Hintergrundfelder, auf die ein einzelnes Instanton gesetzt wurde, gemacht. Position und Ausdehnung der Eigenmodendichte und der topologischen Ladungsdichte werden durch das Anfitten eines Instanton Modells verglichen. Topologische Ladungsdichte, Wirkungsdichte und Eigenmodendichte werden als 3-D Schnitt durch das 4-D Raumzeitgitter visualisiert und geplottet. Es wird gezeigt, dass für nackte Quarkmassen m_0 mit 0< m_0 < 2 nicht nur Nullmoden, sondern alle niedrigen Eigenmoden des hermitschen Wilson-Dirac Operators eine starke Korrelation mit topologischen Objekten zeigen. Diese Objekte können Instantonen, oder topologische Fluktuationen sein. Es wird gezeigt, dass Eigenmoden heisser SU(3) Konfigurationen für den gesamten Bereich von m_0 starke Korrelationen mit Objekten aufweisen, die in der topologischen Ladungsdichte nach zwölf Kühlschritten eindeutig identifiziert werden können. Objekte, die in der Eigenmodendichte gefunden werden haben ungefähr die selbe Grösse wie die zugehörigen Objekte in der topologischen Ladungsdichte. Für solche heissen SU(3) Konfigurationen findet man, dass mindestens die niedrigsten zwanzig Eigenmoden starke Korrelation zur Topologie aufweisen. Dabei kann nur eine sehr schwache Aufweitung der Korrelation festgestellt werden. Bei der Betrachtung von Eigenmoden gekühlter SU(3) Konfigurationen stellt man, im Vergleich zu heissen Konfigurationen, einen Unterschied fest. Nur Eigenmoden für kleine Massen m_0 weisen die beschriebenen starken Korrelationen auf. Für Eigenmoden für grössere Massen m_0, aber m_0<2, werden diese Korrelation zur Topologie sehr schwach, d.h. die Eigenmoden sind nur noch schwach lokalisiert.

Im zweiten Teil dieser Arbeit wird die Verbindung zwischen Zentrumsvortizes und Confinement untersucht. Um dünne Zentrumsvortizes zu identifizieren sind mehrere Schritte notwendig. Zuerst werden im Monte-Carlo Verfahren mit 3-Loop verbesserter Wirkung hergestellte SU(3) Hintergrundfelder in die maximale Zentrumseichung (MCG) gebracht. Dazu wird die mesonische Eichbedingung maximiert. Für die eichfixierten Links U_mu^Omega(x) wird dann das Zentrumselement Z_mu(x) gefunden, welches den Link am besten repräsentiert. Mit diesen Zentrumselementen wird der Zentrumsfluss durch jede Plaquette berechnet und somit definiert, ob ein Vortex die Plaquette durchstösst. Die Unabhängigkeit der physikalischen Vortexdichte von Gitterabstand a wird gezeigt. Dies legt nahe, dass die derart identifizierten Vortizes physikalisch sind. Um den Einfluss von Zentrumsvortizes auf das Farbconfinement zu testen wird das statische Quark-Antiquarkpotential für volle SU(3) Konfigurationen, für Konfigurationen die nur Vortizes enthalten und für Konfigurationen aus denen die Vortizes entfernt wurden, berechnet. Der Einfluss der Eichbedingung auf dieses Verfahren wird durch die Implementierung der idealen Zentrumseichung (ICG), als Vergleich zur maximalen Zentrumseichung, getestet. Es wird gezeigt, dass eine Theorie, die nur Zentrumsvortizes besitzt, Confinement aufweist, wohingegen die entsprechende Theorie aus der die Vortizes entfernt wurden kein Confinement mehr aufweist, also die Stringspannung verschwindet. Die Stringspannung für die Vortextheorie beträgt aber nur ungefähr 62% der vollen SU(3) Stringspannung für MCG Vortizes und nur ungefähr 58% für ICG Vortices. Daher wird vorgeschlagen, dass die mesonische Eichbedingung eine gute Näherung für die ideale Eichbedingung ist. Desweiteren werden Vorschläge gemacht wie das Rätsel der fehlenden 40% Stringspannung gelöst werden könnte. Diese Vorschläge beinhalten eine mathematische Erklärung und die Laplace Zentrumseichung.