Ein Homotopieansatz zur Lösung des inversen mittleren Krümmungsflusses

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt im $\Rn$ diejenige quasilineare, degeneriert parabolische partielle Differentialgleichung, die die natürliche parabolische Verallgemeinerung der Niveauflächenformulierung des Inversen mittleren Krümmungsflusses ist. Es wird ein schwacher Lösungsbegriff eingeführt, der im stationären Fall genau die von Huisken und Ilmanen (2001) konstruierten schwachen Lösungen des inversen mittleren Krümmungsflusses beschreibt.

Mit Hilfe der auch von Huisken und Ilmanen verwendeten Methode der Epsilon-Regularisierung erhalten wir die Existenz lipschitzstetiger Lösungen zugehöriger Anfangs- und Randwertprobleme und zeigen deren Eindeutigkeit für eine breite Klasse von Anfangswerten.

Innerhalb dieser Klasse identifizieren wir Anfangswerte, deren zugehörige schwache Lösungen mit der Zeit gegen die schwache Lösung des inversen mittleren Krümmungsflusses konvergieren und zeigen, dass die Flächen $\rand \{ x : u(x,t) \le z \}$ solcher Lösungen in Dimension $n\le 7$ für $t$ gegen unendlich einschichtig und lokal gleichmäßig bezüglich der $C^{1,\alpha}$-Norm für jedes $0<\alpha<1/2$ gegen die entsprechenden Flächen der stationären Lösung konvergieren.

In beliebiger Dimension erhalten wir die lokal gleichmäßige $C^{1,\alpha}-$Regularität der entsprechenden Flächen auf dem Komplement einer singulären Menge mit Hausdorffdimension $k \le n-8$. Die entsprechende Konvergenz ergibt sich dann unter einer Zusatzbedingung an die stationäre Lösung.

In $\Rn$, we present the quasilinear degenerate parabolic second order PDE which arises as the natural parabolic generalization of the level set formulation of the inverse mean curvature flow. We develop a notion of weak solution that renders precisely the weak solutions of the inverse mean curvature flow introduced by Huisken and Ilmanen (2001) in case the situation in view is stationary.

Using, as Huisken and Ilmanen did, the approximation scheme of epsilon regularization, we prove existence of a Lipschitz continuous weak solution for appropriate initial and boundary value problems and prove their uniqueness for a wide class of initial values.

Within this class, we identify initial values for which the solutions approximate a stationary solution as time tends to infinity. For the boundaries of the sets $\{ x \vert u(x,t) \le z \}$ of these solutions, we show that in dimension $n \le 7$, they converge towards the corresponding sets of the stationary solution locally uniformly with respect to the $C^{1,\alpha}-$norm $(0<\alpha< 1/2)$ in the sense of sinlge-layered convergence. In arbitrary dimension, we obtain $C^{1,\alpha}-$ regularity of the respective sets up to a singular set of Hausdorff dimension $k \le n-8$. The convergence then holds up to this set and under an additional assumption on the stationary solution.