Schallausbreitung in der Methode der Finiten Massen

Abstract

Die Schallausbreitung in adiabatischen Fluiden wird durch die akustischen Gleichungen beschrieben, welche aus der Linearisierung der Euler Gleichungen um einen Zustand konstanter Massendichte und Geschwindigkeit Null hervorgehen.

Das in der Mitte der 90er Jahre von H. Yserentant entwickelte Teilchenmodell [Num. Math. (1997)76, 111-142] der Methode der Finiten Massen liefert eine stabile und konvergente Diskretisierung der akustischen Wellengleichung des Geschwindigkeitsfeldes und der zugehörigen Ortsableitung, was durch Linearisierung der Bewegungsgleichungen der Teilchen im ersten Teil dieser Arbeit gezeigt wird. Sind die Teilchen von geeigneter Gestalt, so erhält man eine Diskretisierung zweiter Ordung des Geschwindigkeitsfeldes und eine Diskretisierung erster Ordung für die entsprechende Ortsableitung. Durch geringfügige Modifikation des zugrunde liegenden Teilchenmodells, läßt sich sogar eine beliebeig hohe Konvergenzrate erzielen.

Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Schallausbreitung in hyperelastischen Materialien. Dabei handelt es sich um eine spezielle Klasse von elastischen Materialien, deren Schallausbreitung durch die lineare Elastizitätsgleichung beschrieben wird und wichtige Werkstoffe wie Eisen oder Aluminium umfaßt. Nachdem die Methode der Finiten Massen für hyperelastische Materilaien eingeführt wurde, wird für isoptrope Materialien gezeigt, daß die Linearisierung der zugehörigen Bewegungsgleichungen ebenfalls eine stabile und konvergente Diskretisierung zweiter Ordung der linearen Elastizitätsgleichung liefern.

The propagation of sound in adiabatic fluids is discribed by the acoustic equations that result from the linearization of the Euler equations around a state of constant mass density and velocity zero.

In the first part of this paper it is shown, that a stable and convergent discretization of the acoustic wave equation for the velocity field and the correspondig derivative in space can be recovered from the particle model of compressible fluids recently developed by H. Yserentant in [Num. Math. (1997)76, 111-142] by linearizing the equations of motions for the particles. For particles of proper shape a discretization of second order for the velocity field and of first order for the corresponding derivative in space results. With a small modification of the basic particle model an arbitrarily high order of convergence can be reached.

The second part of this paper investigates the propagation of sound in elastic materials, which is discribed by the linear equations of elasticity. More precisely we consider the important class of hyperelastic materials such as iron or aluminium. Therefore, the Finite Mass Method is introduced for hyperelastic materials. Under the assumption of isotropic materials, the linearization of the corresponding equations of motion is stable and convergent. For particles of proper shape, this discretization is again second order accurate.